第1讲 排列、组合、二项式定理
1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查．
2．二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注．
热点一 两个计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘． 例1 (1)(2017·东北三省三校联合)在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有( ) A．20种 C．22种 答案 B
解析 分类讨论．
当广告牌没有蓝色时，有1种结果； 当广告牌有1块蓝色时，有C16＝6(种)结果；
当广告牌有2块蓝色时，先排4块红色，形成5个位置，插入2块蓝色，有C2 5＝10(种)结果；当广告牌有3块蓝色时，先排3块红色，形成4个位置，插入3块蓝色，有C3 4＝4(种)结果；由于相邻广告牌不能同为蓝色，所以不可能有4块蓝色广告牌． 根据分类加法计数原理有1＋6＋10＋4＝21(种)结果． 故选B.
B．21种 D．24种
(2)(2016·全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 C．12 答案 B
解析 从E到F的最短路径有6条，从F到G的最短路径有3条，所以从E到G的最短路径为6×3＝18(条)，故选B.
思维升华 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化． 跟踪演练1 (1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( ) A．18种 C．36种 答案 C
解析 若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢
2走，有A22A3＝12(种)，
B．18 D．9
B．24种 D．48种
若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有
2A22A3＝12(种)，
若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有
2A22C3＝6(种)，
若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A2 3＝6(种)，根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种． 故选C.
(2)(2017·江西省五市八校联考)某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同的安排方法种数是( ) A．24 C．48 答案 A
解析 首先安排文科学生，文科两个班的学生有A23种安排方法，然后安排理科学生，理科的
B．32 D．84
212
学生有A1利用分步乘法计数原理可得，不同的安排方法种数为A22×A2种安排方法，3×A2×A2
＝24(种)．故选A. 热点二 排列与组合
名称 相同点 排列 组合 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复 ①排列与顺序有关； ①组合与顺序无关； ②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 不同点 ②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同
例2 (1)(2017届四川省广元市三诊)某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置)，其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( ) A．18种 C．36种 答案 B
22解析 若A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车，即剩下的两个小孩来自其他的3个家庭，有C3·2
B．24种 D．48种
＝12(种)方法，若A户家庭的孪生姐妹乘坐乙车，那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个，有C122＝12(种)，所以共有12＋12＝24(种)方法，故选B. 3·
(2)(2017·天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答) 答案 1 080
4解析 ①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C3C1A4＝960. 5·4·
②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120. 故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．
思维升华 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．
具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径
(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 解答计数问题多利用分类讨论思想．分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”．
跟踪演练2 (1)(2017·兰州模拟)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( ) A．A1818种
310C．A23A18A10种
B．A2020种
18
D．A22A18种
答案 D
182
解析 先排美、俄两国领导人，方法有A2A182种，剩下18人任意排有A18种，故共有A2·18种不
同的站法．
(2)(2017·广东省韶关市模拟)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有( ) A．25种 C．90种 答案 D
解析 因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两种方法：
2
C15C4
一，一个单位1名，其他两个单位各2名，有2×A33＝90(种)分配方法；二，一个单位3A23名，其他两个单位各1名，有C35×A3＝60(种)分配方法，共有90＋60＝150(种)分法，故选
B．60种 D．150种
D.
热点三 二项式定理
n1n1nkkn(a＋b)n＝C0b＋?＋Ckb＋?＋Cn其中各项的系数Ck?，n)叫做二na＋Cnananb，n(k＝0,1，
－
－
nkk项式系数；展开式中共有n＋1项，其中第k＋1项Tk＋1＝Ckb(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)na
－
称为二项展开式的通项公式．
例3 (1)(2017·河南省普通高中质量监测)(3－2x－x4)·(2x－1)6的展开式中，含x3项的系数为( ) A．600 C．－600 答案 C
33424解析 依题意，由排列组合知识可知，展开式中x3项的系数为3×C362(－1)－2×C62(－1)
B．360 D．－360
＝－600.故选C.
(2)(2017届湖北省黄冈市质量检测)已知(1－2x)2 017＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋?＋a2 016(x－1)2 016＋a2 017(x－1)2 017(x∈R)，则a1－2a2＋3a3－4a4＋?－2 016a2 016＋2 017a2 017等于( ) A．2 017 C．－4 034 答案 C
B．4 034 D．0
解析 因为(1－2x)2 017＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋?＋a2 016(x－1)2 016＋a2 017(x－1)2 017(x∈R)，两边同时求导可得－2×2 017(1－2x)2 016＝a1＋2a2(x－1)＋?＋2 016a2 016(x－1)2 015＋2 017a2 017(x－1)2 016 (x∈R)，
令x＝0，则－2×2 017＝a1－2a2＋?－2 016a2 016＋2 017a2 017 (x∈R)＝－4 034，故选C. 思维升华 (1)在应用通项公式时，要注意以下几点
①它表示二项展开式的任意项，只要n与k确定，该项就随之确定； ②Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；
③公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置； ④对二项式(a－b)n的展开式的通项公式要特别注意符号问题．
(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．
1
1＋2?(1＋x)6的展开式中x2的系数为( ) 跟踪演练3 (1)(2017·全国Ⅰ)??x?A．15 B．20 答案 C
1?144k6222?1＋2(1＋x)的展开式中含x的项为1·解析 因为(1＋x)6的通项为Ckx，所以Cx和·Cx. 66
?x?x266×542
因为C2＋C＝2C＝2×＝30， 666
2×1
1
1＋2?(1＋x)6的展开式中x2的系数为30. 所以??x?故选C.
3
x＋?n的展开式中，各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，(2)(2017·吉林调研)?x??A
若＝32，则n等于( ) BA．5 C．7 答案 A
A4n
解析 令x＝1，得各项系数之和为A＝4，二项式系数之和为B＝2，故＝n＝32，解得n
B2
n
n
C．30 D．35
B．6 D．8
＝5，故选A.
真题体验
1．(2017·全国Ⅱ改编)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种．