数学物理方程复习(1)

数学物理方程复习

一．三类方程及定解问题

（一） 方程

1. 波动方程（双曲型）

Utt = a2Uxx +f; 00 U(0,t)= Φ1（t）; U(L,t)= Φ2（t）; U(x,0)= Ψ1（x）; Ut(x,0)=Ψ2（x）。

2. 热传导方程（抛物型）

Ut=a2Uxx+f; 00 U(0,t)=Φ1（t）; U(L,t)=Φ2（t）; U(x,0)=Ψ1（x）.

3. 稳态方程（椭圆型）

Uxx +Uyy =f; 0

（二） 解题的步骤

1. 建立数学模型，写出方程及定解条件 2. 解方程

3. 解的实定性问题（检验） （三） 写方程的定解条件 1. 微元法：物理定理

2. 定解条件：初始条件及边界条件 （四） 解方程的方法

1. 分离变量法（有界区域内）

2. 行波法（针对波动方程，无界区域内） 3. 积分变换法（Fourier变换Laplace变换）

Fourier变换:针对整个空间 奇：正弦变换 偶：余弦变换 Laplace变换：针对半空间 4. Green函数及基本解法 5. Bessel函数及Legendre函数法

例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。

解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b Ut（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b Ut(x+n△x））(0

T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)Ut=p Utt(x+n△x)△x 在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t), COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)

即(T/ρ)[ Ux(x+△x,t)- Ux(x,t)]/ △x-(b/ρ) Ut(x+n△x，t) 即令△x?0时有：Utt+ aUt=a2Uxx

例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F（x,y,z,t），试导出扩散方程。

解：设U（x,y,z,t）为粒子的浓度（单位体积内的粒子数），在空间内画出一个立方体，体积△V=△X△Y△Z,考虑在△t内△V内的粒子流动情况。 由扩散定律知：

流入X方向的流粒子数为：[qx(x,t)- qx(x+△x,t)] △t△y△z, 流入Y方向的流粒子数为: [qY(y,t)- qY(y+△y,t)] △t△x△z, 流入Z方向的流粒子数为: [qz(z,t)- qz(z+△z,t)] △t△x△y. 而源强产生的粒子数为：F（x,y,z,t）△t△x△y△z. 由质量守恒定律为：

[qx(x,t)- qx(x+△x,t)] △t△y△z+[qY(y,t)- qY(y+△y,t)] △t△x△z+[qz(z,t)- qz(z+△z,t)] △t△x△y+ F(x,y,z,t）△t△x△y△z= [U（x,y,z,t+△t）- U（x,y,z,t）] △t△x△y△z. 令△t△x△y△z?0时有：（＠是求偏导） -＠qx/＠x-＠qy/＠y-＠qz/＠z+ F（x,y,z,t）= Ut 由自由扩展定律得：

＠(D＠u/＠x）/＠x+＠（D＠u/＠y）/＠y+＠（D＠u/＠z）/＠z+F= Ut 若扩散粒子是均匀的： Ut= a2△U.

二．线性偏微分方程

（一）二阶线性偏微分方程 LU=a11Uxx+2a12Uxy+a22Uyy+b1Ux+b2Uy+c+f 1.主要部分：a11Uxx+2a12Uxy+a22Uyy 2.判别式△= a212- a11a22 △>0 双曲线方程 △=0 抛物型方程 △<0 椭圆方程 3.特征方程

a11（-dy/dx）2-2a12（-dy/dx）+a22=0 特征根：dy/dx=（a12±△1/2）/ a11 特征曲线：y=[（a12+△1/2）/ a11]x+C1

y=[（a12-△1/2）/ a11]x+C2

新旧变量关系：ζ=y+λ1x，η= y+λ2x 令Q=省略

例一：把方程x2Uxx+2xyUxy-3y2Uyy-2xUx+4yUy+16x4U=0改成标准形式，并判断类型。 例二：x2Uxx+2xyUxy+y2Uyy=0

例三：化简2aUxx+2aUxy+aUyy+2bUx+2cUy+U=0,并判断类型。a≠0

（二）线性偏微分方程的基本性质 1.线性迭加原理

设L为线性偏微分算子，即LU=f

若u1 u2 u3 ……un 是LU=fi 的解，则u=∑CiUi是LU=∑Cifi的解。 若u1是LU=0的通解，u2是LU=f的特解，则u= u1+u2是LU=f的一般解。

2.齐次化原理（冲量原理）

原理1：设W是方程Wtt= a2 Wxx W|t=η=0 W t|t=η=f（x,t;η）的解，则u=∫0tW（x,t;η）dη是方程Utt= a2 Uxx+ f（x,t） U|t=0=0 U t |t=0 =0的解。

原理2：W是方程Wt= a2 Wxx W|t=η=0 W t|t=η=f（x,t;η）的解，则u=∫0tW（x,t;η）dη是Ut= a2 Uxx+ f（x,t） U|t=0=0 的解。

3.特征值函数δ

δ（x-x0）={0 x≠0∫δ（x-x0）dx=1

∞ x=x0

性质：Φ（x）是连续函数，则∫δ（x-x0）Φ（x）=Φ（x0）