数学物理方程复习(1)(2)

三．分离变量法

（一） 齐次的泛定方程和齐次的边界条件

Utt = a2Uxx ; 00 U(0,t)=U(l,t)=0; U(x,0)= Φ（x）; Ut(x,0)=Ψ（x）。

第二类齐次边界条件：Ux(0,t)=Ux(l,t)=0;

第一类与第二类的齐次边界条件：U(0,t)=Ux(l,t)=0或Ux(0,t)=U(l,t)=0。

（二） 非齐次的泛函方程的齐次边界条件

Utt = a2Uxx +f(x,t); 00 U(0,t)=U(l,t)=0; U(x,0)= Φ（x）; Ut(x,0)=Ψ（x）。

令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且W满足

Wtt = a2Wxx ; 00 W(0,t)=W(l,t)=0; W(x,0)= Φ（x）;

Wt (x,0)=Ψ（x）.则V满足 Vtt = a2Vxx +f(x,t); 00

V(0,t)=V(l,t)=0;V(x,0)= 0;Vt (x,0)=0.

解W用分离变量法，解V用冲量原理。

（三） 齐次的泛定方程，非齐次边界条件

Utt = a2Uxx ; 00 U(0,t)=U1 (t); U(l,t)= U2 (t); U(x,0)= Φ（x）; Ut (x,0)=Ψ（x）.

设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得：V(0,t)= V(l,t)=0,则 W(0,t)= U1 (t),W(l,t)= U2 (t),设W(x,t)=Ax+B,则 W(0,t)=B= U1 (t), W(l,t)=Al+B= U2 (t),则（省略） （四） 非齐次的泛定方程，非齐次边界条件

Utt = a2Uxx +f(x,t); 00 U(0,t)=U1 (t); U(l,t)= U2 (t); U(x,0)= Φ（x）; Ut (x,0)=Ψ（x）.

第一步：把非齐次边界条件化成齐次的边界条件 第二步：同(三)

例一：Utt = a2Uxx ； U(0,t)=0=U(l,t);

U(x,0)=3sinx; Ut (x,0)=0. 00

例二：在矩形区域内0Uxx +Uyy =0; 0

解：设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得Vxx+ Vyy=0, V(0,y)= V(a,y)=0, V(x,0)= Bsin(πx/a),V(x,b)=0;

同时Wxx+ Wyy=0, W(0,y)= Ay(b-y), W(a,y)=0, W(0,x)= W(b,x)=0. 答案省略~

例三：求解方程

Utt = a2Uxx +bshx; U(0,t)= U(l,t)=0; U(0,x)= U t(0,x)=0。 例四：长为l,两端固定的弦线在单位长度的横向力

f(x,t)=g(x)sinwt的作用下做摆动，已知弦的初始位移和速度分别为Φ(x),Ψ(x)求其振动规律。 解：设位移分布函数为U(x,t)且满足： Utt = a2Uxx +g(x)sinwt; 00 U(0,t)= U(l,t)=0; U(0,x)= Φ(x); U t(0,x)= Ψ(x).

解方程，设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且 Vtt = a2Vxx ;V(0,t)= V(l,t)=0; V(0,x)= Φ(x);V t(0,x)= Ψ(x).

W满足：Wtt = a2Wxx +g(x)sinwt; 00

W(0,t)= W(l,t)=0; W(0,x)= 0;W t(0,x)=0. 由冲量原理有： Ztt = a2Zxx; 00 Z(0,t;τ)= Z(l,t;τ)=0;

Z(0,t;τ)= 0; Z(l,t;τ)= g(x)sinwt. W(x,t)=∫t0 Z(x,t;τ)dτ 答案省略~

例五：求解矩形域上的第二类边界值问题。

Uxx +Uyy =0； 0

四．行波法（无界区域内）

（一）公式 1.一维波动方程

Utt = a2Uxx； -∞< x<+∞;t>0. U(0,x) =Φ（x）； Ut(0,x)= Ψ（x）.

公式：U(t,x)=1/2(Φ(x+at)+Φ(x-at))+1/2a∫

x+at

x-atΨ(ξ)dξ

2.三维波动方程

Utt = a2△U； -∞< x<+∞;t>0. U(0,M) =Φ（M）； Ut(0,M)= Ψ（M）.

公式：U=1/4πa2[﹫[∫∫Φ（M’）/t]/﹫tds+∫∫Ψ（M’）/tds] 3.二维波动方程

Utt = a2△U； -∞< x<+∞;t>0. U(0,M) =Φ（M）； Ut(0,M)= Ψ（M）。 U=(省略) （二）基本类型

1.使用奇延拓将问题转化到整个空间内 Utt = a2Uxx； 0< x<+∞;t>0. U(0,t)=0;(端点固定) U(0,x) =Φ（x）； Ut(0,x)= Ψ（x）

延拓：x≥0时，Φ(x)=Φ(x),x<0时，Φ(x)=-Φ(-x)； x≥0时，Ψ(x)= Ψ(x),x<0时，Ψ(x)=-Ψ(-x)。 2.使用偶延拓将问题转化到整个空间内 Utt = a2Uxx； 0< x<+∞;t>0. Ux(0,t)=0;(端点自由) U(0,x) =Φ（x）； Ut(0,x)= Ψ（x）