I=1/2π∮|z|=11/(bz2-2az-b)dz =(1/a2+b2) 1/2
例三． 证明（1）J2(x)= J’’0(x)-1/x J’0(x) (2) J3(x)+3 J’0(x)+4J(3)0(x)=0
证明：（1）因为J’0(x)=- J1(x)且有2 J’n(x)= Jn-1(x)- Jn+1(x) 则J’1(x)=1/2[J0(x)- J2(x)] (2n/x)Jn(x)= Jn-1(x)+Jn+1(x)
-(1/x) J’0(x)= (1/x)Jn(x)=1/2[J0(x)+ J2(x)]则
J’’0(x)-1/x J’0(x)= -（1/2）[J0(x)- J2(x)]+ 1/2[J0(x)+ J2(x)] = J2(x)
（2）J(3)0(x)= -（1/2）[J0(x)- J’2(x)]
=-（1/2）[-J1(x)-（1/2）[J0(x)- J2(x)]] =(3/4) J1(x)-(1/4)J2(x) 则J3(x)+3 J’0(x)+4J(3)0(x)
= J3(x)-3J1(x)+4[(3/4) J1(x)-(1/4)J2(x)]=0.
八．Legendre函数及表现形式
（一）Legendre方程及方程的解 （二）Legendre函数及性质 1. Legendre函数及表现形式 2. Legendre函数的母函数 3. Legendre函数的递推关系
（三）Legendre函数的正交性及广义的傅氏级数
1. Legendre函数的正交性 2. Legendre函数的模 3. Legendre函数的傅氏级数 例一．计算积分∫-1x2Pl(x)Pl+2(x)dx 解：由递推关系式：
xPl(x)=(1/2l+1)[(l+1)Pl+1(x)+lPl-1(x)] xPl+2(x)=(1/2(l+1)+1)[(l+3)Pl+3(x)+(l+2)Pl+1(x)] 则I=(1/(2l+1)(2l+5))∫-1[(l+1)Pl+1(x)+lPl(x)]dx =2(l+1)(l+2)/(2l+1)(2l+5)2 例二．I=∫-1Pl(x)dx.
法一.由（2l+1）Pl(x)= P’l+1(x)- P’l-1(x) I=∫-1{1/(2l+1）-[ P’l+1(x)- P’l-1(x)])dx =1/(2l+1）[Pl+1(1)- Pl+1(-1)- Pl-1(1)+ Pl-1(-1)] 而Pl(1)=1，Pl(-1)=（-1）Pl(1)则： I=0 l≠0;I=2,l=0.
法二. I=∫-1Pl(x)dx=∫-1P0(x)Pl(x)dx 则I=0 l≠0;I=2,l=0.
例三.证明(x-1)P’l(x)=lx Pl(x)-l Pl-1(x)(积分) 证明：因为d[(x-1)P’l(x)]/dx+l(l+1)Pl(x)=0 则(x-1)P’l(x)|x1= l(l+1) ∫1 Pl(x)dx,
又（2l+1）Pl(x)= P’l+1(x)- P’l-1(x)，且Pl(1)=1代入有： (x-1)P’l(x)=lx Pl(x)-l Pl-1(x)即证。
2
2
x
2
2
1
1n
1
1
1
1