一元回归模型（1）
一、一元回归模型的定义:
? 1、回归的含义
回归分析研究的是一个变量（被解释变量）对另一个变量（解释变量）的依赖关系。其目的是通过后者的已知或设定值，去估计或预测前者的均值。 ? 2、统计关系与确定性关系
在经济研究中，主要处理的是经济变量之间统计依赖的关系。变量之间的关系是一种统计性的关系，而非确定性关系。 ? 3、回归与相关
相关分析：测度两个变量之间的线性关联程度，可以用相关系数来测量。对两个变量不加区分，都是随机变量。
回归分析：根据某个变量的设定值来估计或预测另外一个变量的平均值。解释变量是固定的（非随机的），被解释变量是随机的。
? 4、总体与样本的关系。 ? 总体：研究对象的全体。
? 个体：总体中的每个元素称为个体
? 样本：从总体中随机抽取的一组个体，称为样本
一个例子：
假设一个国家由60户居民组成，我们要研究每周家庭消费支出与可支配收入的关系。
收
入（X）
80 55 60
支
出
65 70 75
共计
325
100 65 70 74 80 85 88 462
120 79 84 90 94 98 445
140 80 93 95 103 108 113 115 707
160 102 107 110 116 118 125 678
180 110 115 120 130 135 140 750
200 120 136 140 144 145 685
220 135 137 140 152 157 160 162 1043
240 137 145 155 165 175 189 966
260 150 152 175 178 180 185 191 1211
（Y）
散点图：
200150Y1005050100150X200250300
1
总体回归曲线（population regression curve）：当解释变量取给定值时被解释变量的条件均值或期望值的轨迹。
（一）总体回归函数（population regression function,PRF）：E(YXi)?f(Xi) 一元回归的总体回归函数：E(YXi)?f(Xi)??1??2Xi 计量分析的随机设定： 随机干扰（随机误差）项：
ui?Yi?E(YXi)
有：Yi?E(YXi)?ui，上式中，E(YXi)称为系统性（确定性）成分，ui称为非系统性成分。
则一元回归的总体回归方程就可以表示为：Yi?E(YXi)?ui??1??2Xi?ui 随机扰动项的意义：
（1）回归模型缺失的变量； （2）人们的随机行为；
（3）建立数学模型的形式不够完整，如为研究问题的简便，把非线性模型线性化； （4）测量误差、经济变量的合并误差等。
（二）、样本回归函数（sample regression function,SRF） 抽样1：
Y
70 65 90 95 110 115 120 140 155 150
X
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
2
抽样2：
Y
55 88 90 80 118 120 145 135 145 175
160X
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
200140150120100YY1100Y80605050100150X20025030050100150X200250300
样本回归曲线时对总体回归曲线的一个近似的估计。
????X，???样本回归函数：Yi12i（样本容量为n） ????X?u?i，样本回归模型：Yi??（样本容量为n） 12i?,??为对总体参数?,?的近?i是样本残差，为总体残差ui的近似估计。样本参数?其中，u1212似估计。
总体回归方程：Yi??1??2Xi?ui
????X?u?i，样本回归模型：Yi??（样本容量为n） 12i注意：样本回归曲线时对总体回归曲线的一个近似的估计。
? 问题：通过对某个社区的家计调查，该社区居民的收入与支出的数据如下表（其中
x为收入，y为支出），通过这个样本得出收入与支出的关系。
3
10080Y60402020406080100X
模型：以消费函数为例。
Yi??1??2Xi?ui，（其中，Xi为收入，Yi为支出）
Yi：
因变量（Dependent Variable）
被解释变量（Explained Variable）
Xi： 自变量 （Independent Variable）
解释变量（Explanatory Variable）
?1,?2： 需估计的参数 ?1：截距（Intercept） ?2：斜率（Slope）
u：误
差项 （Error Term） 随机扰动项 （Disturbance）
4
二、模型的假设：
（1）线性无偏性，E(ui)?0,i?1,2,? 因此有：E(Yi)??1??2Xi
（2）同方差性，Var(ui)?E[ui?E(ui)]2?E(ui)??u,i?1,2,?
（3）序列不相关性，Cov(ui,uj)?E[ui?E(ui)][uj?E(uj)]?E(uiuj)?0
（4）X非随机变量。Cov(ui,Xi)?E[ui?E(ui)][xi?E(xi)]?E(uixj)?0
假定确保了回归分析的有效性。（多元回归中有确定的解），以后讨论假设条件不成立对估计值的影响
三、参数估计
参数估计的基本思想：一条好的拟合直线应该是使残差平方和达到最小。
2?,??)?u?minQ(??i??(Yi???1???2Xi)2 122
?,??求偏导，可得 对?12 （1）
?????X)?0 ??2?(Yi??12i???1?????X)X?0 ??2?(Yi??12ii???2
（2）
即：
????n?12?Xi??Yi??2?X??X1?i2?i??XiYi
求解，可得：
n?XiYi??Xi?Yi??2? 2n?Xi?(?Xi)2??(Y????i?2?Xi) 1
上式可以以样本观测值、平均值以及观测值与平均值的离差简化表示：
1n 5