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根据正切的定义用
x 表示出 BM，根据题意列式计算即可．
【解答】 解：作 OM ⊥ BC 于 M，ON⊥ AC 于 N，
则四边形 ONCM 为矩形，
∴ ON＝ MC， OM ＝NC，
设 OM ＝x，则 NC＝ x， AN＝ 840﹣ x，在 Rt△ ANO 中，∠ OAN ＝ 45°，
∴ ON＝ AN＝ 840﹣ x，则 MC ＝ ON＝ 840﹣ x，
在 Rt△ BOM 中， BM ＝
x，
由题意得， 840﹣ x+
x＝ 500，
解得， x＝480，
答：点 O 到 BC 的距离为 480m．
【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．
21．【分析】 （ 1）根据总利润＝每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；
（ 2）构建方程即可解决问题；
（ 3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题；
【解答】 解：（ 1）W1＝（ x﹣ 6）（﹣ x+26）﹣ 80＝﹣ x2
+32x﹣ 236．
（ 2）由题意： 20＝﹣ x2
+32x﹣ 236．
解得： x＝16，
答：该产品第一年的售价是
16 元．
（ 3）∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过 件．
--
万
12
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∴ 14≤ x≤16，
2
W2＝（ x﹣ 5）（﹣ x+26）﹣ 20＝﹣ x+31x﹣ 150，
∵抛物线的对称轴
x＝ 15.5，又 14≤ x≤ 16，
∴ x＝ 14 时， W2 有最小值，最小值＝ 88（万元）， 答：该公司第二年的利润
W2 至少为 88 万元．
【点评】 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题，属于中考常考题型．
22．【分析】 （1）如图 ① 中，延长 D′ C′交 BC 于 H ．证明△ CC′ H 是等腰直角三角形即可解决
问题．
（ 2）结论：
＝ ，值不变．如图 ② 中，连接 AC，AC′．证明△ BAB ′∽△ CAC′即可解
决问题．
（ 3）分两种情形画出图形分别求解即可．
【解答】 解：（ 1）如图 ① 中，延长 D′ C′交 BC 于 H．
由题意四边形 BHC′ B′，四边形 CHDD ′ D 都是矩形，
∴ BB′＝ HC′， DD ′＝ CH ， ∵ AB＝ AD ，
∴ BB′＝ DD ′，
∴ CH＝ HC′，
∵∠ CHC′＝ 90°，
∴△ CHC′是等腰直角三角形，
∴
＝
．
＝ ．
故答案为
--
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（ 2）结论：
＝ ，值不变． 理由：如图 ② 中，连接
AC， AC′．
∵四边形 ABCD ，四边形 AB ′C′D ′都是正方形，
∴∠ BAC＝∠ B′ AC′＝ 45°，
＝ ＝ ，
∴∠ BAB′＝∠ CAC′，
∴△ BAB′∽△ CAC′，
∴
＝ ＝ ．
（ 3）如图 ③ ﹣ 1 中，当 C， C′， D ′共线时．易知 AC＝ 2
， AD∴ CD′＝
＝ ，
∴ CC′＝﹣ ， ∴ BB′＝CC ′＝﹣1
如图 ③ ﹣2 中，当 C， D′， C′共线时，同法可得 CC′＝ + ，--
，
BB′＝ CC′＝ +1．
′＝
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综上所述，满足条件的 BB′的长为
+1 或 ﹣1．
【点评】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三
角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类
讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．【分析】 （ 1）先根据已知求点
A 的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
2
（ 2） ① 先得 AB 的解析式为： y＝﹣ 2x+2，根据 PD ⊥ x 轴，设 P（x，﹣ x﹣ 3x+4），则 E（ x，﹣
2x+2），根据 PE＝ DE，列方程可得 P 的坐标，先求出点 E 的坐标，从而得 PE＝ 2，根据 S
△PAB
＝ S△PAE+S△ PBE＝ × PE×（ xB﹣ xA）计算可得；
② 先设点 M 的坐标，根据两点距离公式可得 AB，AM ， BM 的长，分三种情况：△ ABM 为直角
三角形时，分别以 A、 B、 M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点 【解答】 解：（ 1）∵ B（1， 0）， ∴ OB＝ 1，
∵ OC＝ 2OB＝2， ∴ C（﹣ 2， 0），
Rt△ ABC 中， tan∠ ABC＝ 2， ∴ ∴
M 的坐标．
＝ 2， ＝ 2，
∴ AC＝ 6，
∴ A（﹣ 2， 6），
2
把 A（﹣ 2， 6）和 B（1， 0）代入 y＝﹣ x+bx+c 得：
解得：
，
，
∴抛物线的解析式为：
2
y＝﹣ x﹣ 3x+4；
--
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（ 2） ① ∵A（﹣ 2， 6）， B（ 1， 0），易得 AB 的解析式为： y＝﹣ 2x+2，
2
设 P（x，﹣ x﹣ 3x+4），则 E（ x，﹣ 2x+2），
∵ PE＝ DE ，
2
∴﹣ x﹣ 3x+4﹣（﹣ 2x+2）＝ （﹣ 2x+2），
x＝ 1（舍）或﹣ 1，
∴ P（﹣ 1， 6）；
在 y＝﹣ 2x+2 中 x＝﹣ 1 时， y＝ 4，即 E（﹣ 1，4），则 PE＝ 2，
∴
S
△ PAB
＝
S
△ PAE
+S△ PBE
＝ ×PE×（ xB﹣ xA） ＝ × 2×（ 1+2）
＝ 3；
② ∵ M 在直线 PD 上，且 P（﹣ 1，6），
设 M（﹣ 1，y），
∴ AM ＝（﹣ 1+2 ）+（ y﹣ 6）＝1+ （ y﹣6） ，
2222
2 2 2 2
BM ＝（ 1+1） +y ＝ 4+y ，
222
AB＝（ 1+2 ）+6＝ 45， 分三种情况：
i ）当∠ AMB ＝ 90
222°时，有 AM +BM＝ AB，
2
∴ 1+（ y﹣6） +4+ y＝45，
2
解得： y＝3±
，
∴ M（﹣ 1，3+
）或（﹣ 1，3﹣
）；
222
ii ）当∠ ABM ＝90°时，有 AB+BM＝ AM，
22
∴ 45+4+y＝ 1+（ y﹣ 6） ，
y＝﹣ 1，
∴ M（﹣ 1，﹣ 1），
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222
iii ）当∠ BAM＝ 90°时，有 AM+AB ＝ BM ，
22
∴ 1+（ y﹣6） +45 ＝4+y，
y＝
，
∴ M（﹣ 1，
）；
综上所述，点
M 的坐标为：∴ M（﹣ 1， 3+ ）或（﹣ 1， 3﹣ ）或（﹣ 1，﹣ 1）或（﹣ 1，
）．
【点评】 此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定
理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思
想的应用．
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