RC4（v||k）? RC4（v||k）? m=m
b. RC4产生的密钥流是伪随机的 c= RC4（v||k）? m
k一定只当v相同时，可以部分确定使用。
c. k=2=2 d. 亦即2
9.2 用图9.6所示的RSA算法对下列数据实现加密和解密： a. p=3;q=11;e=7;M=5 b. p=5;q=11;e=3;M=5 c. p=7;q=11;e=17;M=9 d. p=11;q=13;e=17;M=7 e. p=17;q=31;e=7;M=2
提示解密不像你想象的那么难，请使用一些技巧。
RSA算法中有（p,q）=1则n=pq ?（n）=（p-1）(q-1) d≡e?1mod ?（n） 此时有加密C= memodn 解密M=Cdmodn
a. 加密：n=pq=3*11=33, ?（n）=（p-1）(q-1)=(3-1)(11-1)=20 de≡1(mod20) 即7d≡1(mod20) 所以d=3
m2mm2c=57mod33=（3125mod33）（25mod33）=78125mod33=14
解密：M=Cdmodn=14mod33=2744mod33=5
b. 加密n=pq=5*11255 ，?（n）=（p-1）(q-1)=(5-1)(11-1)=40 de≡1(mod40)，即3d≡1(mod40)，所以d=27 C= memodn=93modn=729mod55=14
解密：M=Cdmodn=14mod55=9 同理可得：
273c. n = 77; ?(n)= 60; d = 53; C = 57. d. n = 143; ?(n)= 120; d = 11; C = 106. e. n = 527; ?(n)= 480; d = 343; C = 128.
9.3在使用RSA的公钥体制中，已截获发给某用户的密文C=10，该用户的公钥e=5,n=35,那么明文M等于多少？ 解答：
已知n=35，又因 n=pq, (p,q)=1 可知 p=5,q=7或p=7,q=5 ?(n)=(p-1）(q-1)=24
d≡e-1mod(?(n))= 5-1mod24=5
M=Cdmodn=105mod35={（103mod35）（102mod35）}mod35=（20*30）mod35=5
9．4
在RSA体制中，某给定用户的公钥为e=31，n=3599，那么该用户的私钥等于多少？ 提示：首先用试探法决定p和q，然后用扩展欧几里得算法寻找31模?(n)的乘法逆。
解答：
n=3599，n=pq，又（p，q）=1
则假设p与q值进行推断，根据此数最后一位，则p与q的值最后一位为1,3,9
3599不能整除，所以q≠3； 33599若p=9则q=不能整除，所以q≠9；
93599若p=11则q=不能整除，所以q≠11；
11若p=3 则q=
…… ……
可推断出p=59，q=61，或p=61，q=59 所以?(n)= (p-1）(q-1)=（59-1）（61-1）=3480 de≡1(mod ?(n)) 3480=112*31+8 31=3*8+7 8=1*7+1 所以 1=8-7
=8-（-31-3*8） =4*8-31
=4*（3480-112*31）-31 =4*348+（-449）*31 所以d=3480-499=3031 即私钥为3031
9.5在使用RSA算法时，可以从少量的重复的编码中恢复出明文，其可能的原因是什么？ 解答：
如果可以从少量重复的编码中恢复出明文则
Metet≡M（mod（n））
≡1（mod ?(n)）
t?1ed=（mod ?(n)）
e 的取值有问题（周期t小）
9.6假定我们已知若干个用RSA算法编码的分组但不知私钥，假设n=pq，e是公钥。若某人告诉我们说它知道其中的一个明文分组与n有公因子，这对我们 有帮助吗？ 解答：
是有帮助的；
因为pq=n（p，q都为大素数）C=Memodn
说明明文中包含p或q的因子，而这个人已知道明文分组中有与n的公因子，表明明文块是p或q的倍数；可以测试每个组，如果互质则为p或q，如果不互质，则继续求它的因子得出p或q。
9.7在RSA公钥密码体制中，每个用户都有一个公钥e，一个私钥d，假定bob的私钥已泄密，bob决定产生新的公钥和新的私钥，而不是产生新的模数，请问这样安全吗？ 解答： 不安全；
私钥泄密，则攻击者可以利用e，d和n按照加密公式C=M(modn)判断出p和q，易见?(n)
e也就知道了
又edmod ?(n)=1 当n不变时 d≡e?1mod ?(n)
所以可以解出密文 M=Cdmodn
9.8假设bob使用RSA密码体制，其中模数非常大以使得因子分解是不可行的。假设 alice给bob发消息，其中的字母表示为0到25（A→0，B→1，……,Z→25）。然后对每个字母用RSA算法单独加密，参数e和n都很大，这种方法安全吗？如果不安全，请给出最有效的攻击方法。 解答：
假定{A,B,……Z}符合相对应的整数代表字母符号在字母表中的位置，即形成一组信息块SM={0,1,2……25}这组信息对应的密文块SC={0emodn，1modn ……25emodn } 每个人都可以用公钥计算出来； 最有效地攻击方法是计算Meemodn，用密文创建一个查阅表作为索引，相应的明文是查阅
表中相应位置对应的值。
10.1用户A和用户B使用Diffie—Hellman密钥交换技术来交换密钥，设公用素数q=71，本原根α=7.
a.若用户A的私钥b.若用户B的私钥
XA=5，则A的公钥YA为多少? XB=12，则B的公钥YB为多少？
c.共享的密钥为多少？
解答： a. b.
YA= αXAmodq=75mod71=51
66YB=αXBmodq=712mod71=（（7mod71）（7mod71））mod71=4
c.K=（YB）
5XAmodq=（YA）
XBmodq
=4mod71 =30
10.2设Diffe-Hellman方案中，公用素数q=11，本原根α=2。 a.证明2是11的本原本。
b.若用户A的公钥YA=9，则A的私钥XA为多少？ c.若用户B的公钥YB=3，则共享的密钥K为多少？
解答： a.证明：
假设2是11的本原根，则有：
2，2，……2是（模11）各不相同的与11互素 -10与11互素 而
21021=2=2（mod11） 22=4=4（mod11） 23=8=8（mod11） 24=16=5（mod11）
25=32=10（mod11） 26=64=9（mod11） 27=128=7（mod11） 28=256=3（mod11） 29=512=6（mod11） 210=1024=1（mod11）
可见，2是11的本原根。
b．由YA= αq=2
c. 公钥 K=(YB）
XAXAmodq 可知
XAmod11 由α可推断出
XA=6
6modq=3modq=3mod11=3
6
10.7设EIGamal体制的公用素数q=71，其本原根α=7。
a.若B的公钥YB=3，A选择的随机整数k=2，则M=30的密文是什么？ b.若A选择的k值使得M=30的密文为C=（59，C2），则整数C1是多少？
解答：
a. 由于EIGamal体制如题6所示 所以 K=(YB）modq=3mod71=9
k2C1=αmodq=7mod71=49
k2C2=αmodq=9*（30）mod71=57
所以密文为（C1，C2）=（49,57） B．由C1=αmodq可知 59=7mod71 尝试k值
kkk