3．什么是总体回归函数？什么是总体回归模型？
答：给定解释变量条件下被解释变量的期望轨迹称为总体回归曲线（population regression curve），或总体回归线（population regression line）。描述总体回归曲线的函数称为总体回归函数（population regression function）。
对于只有一个解释变量X的情形，总体回归函数为
E（Y/Xi）?（fXi）表示对于解释变量X的每一个取值Xi，都有被解释变量Y的条件期望E与之对应，（Y/Xi）是X的函数。 E（Y/Xi）对于含有多个解释变量X1、X2、?、Xk的情形，总体回归函数为
E（Y/X1i，X2i，?，Xki）?（fX1i，X2i，?，Xki）表示对于解释变量X1、X2、?、Xk的每一组取值X1i、X2i、?、Xki，都有被解释变量Y的条件期望
E（Y/X1i，X2i，?，Xki）与之对应，E是X1、X2、?、Xk的函数。 （Y/X1i，X2i，?，Xki）引入了随机误差项，称为总体回归函数的随机设定形式，也是因为引入了随机误差项，成为计量经济学模型，称为总体回归模型（population regression model）。
4．什么是样本回归函数？什么是样本回归模型？
答：由于总体中包含的个体的数量往往非常多，总体回归函数的具体形式一般无法精确确定，是未知的，通常只能根据经济理论或实践经验对总体回归函数进行合理的假设，然后根据有限的样本观察数据对总体回归函数进行估计。根据样本数据对总体回归函数作出的估计称为样本回归函数（simple regression function）。
引入样本回归函数中的代表各种随机因素影响的随机变量，称为样本残差项、回归残差项或样本剩余项、回归剩余项，简称残差项或剩余项（residual），通常用ei表示。在样本回归函数中引入残差项后，得到的是随机方程，成为了计量经济学模型，称为样本回归模型。
5．线性回归模型中“线性”的含义是什么？
答：线性函数和通常意义下的线性函数不同，这里的线性函数指参数是线性的，即待估参数都只以一次方出现，解释变量可以是线性的，也可以不是线性的。
例如
2，?，n Yi??0??1lnXi??i i?1，2，?，n Yi??0??1X12i??2X2i????kXki??i i?1，32，?，n Yi??0??1X1i??（）????（??i i?1，2X1i/X2i?8kXki?X2i）都是线性回归模型。
2，?，n Yi??0??12Xi??i i?1，2，?，n Yi??0?（?1??02）X1i?1X2i????kXki??i i?1，?2Yi??0??1X1i?ln?2X2i????kXki??i i?1，2，?，n
都不是线性回归模型。
6
6．为什么要对模型提出假设？一元线性回归模型的基本假设有哪些？
答：线性回归模型的参数估计方法很多，但各种估计方法都是建立在一定的假设前提之下的，只有满足假设，才能保证参数估计结果的可靠性。为此，本节首先介绍模型的基本假设。
一元线性回归模型的基本假设包括对解释变量的假设、对随机误差项的假设、对模型设定的假设几个方面，主要如下：
1）解释变量是确定性变量，不是随机变量。
2）随机误差项具有0均值、同方差，且在不同样本点之间是独立的，不存在序列相关，即
E（?i）?0 i?1，2，?，n Var（?i）??2 i?1，2，?，n
Cov（?i，?j）?0 i?j i，j?1，2，?，n
3）随机误差项与解释变量不相关。即
Cov（Xi，?i）?0 i?1，2，?，n
4）随机误差项服从正态分布，即
?i~N(0,?2) i?1,2,?,n
5）回归模型是正确设定的。
这5条假设中的前4条是线性回归模型的古典假设，也称为高斯假设，满足古典假设的线性
回归模型称为古典线性回归模型（classical linear regression model）。
7．参数的普通最小二乘估计法和最大似然估计法的基本思想各是什么？
答：普通最小二乘法（ordinary least squares，OLS）是最常用的参数估计方法，其基本思想是使样本回归函数尽可能好地拟合样本数据，反映在图上，就是要使样本散点偏离样本回归直线的距离总体上最小。在样本容量为n的情况下，就是要使n个样本点的被解释变量的估计值与实际观察值的偏差总体上最小。为避免残差的正负抵消，同时考虑计算处理上的方便，最小二乘法以
min?ei2
i?1n表示被解释变量的估计值与实际观察值的偏差总体上最小，称为最小二乘准则。 最大似然法（maximum likelihood，ML），也称为最大或然法或极大似然法。最大似然法的基本思想是使从模型中取得样本观察数据的概率最大，就是说把随机抽取得到的样本观察数据看作是重复抽取中最容易得到的样本观察数据，即概率最大，参数估计结果应该反映这一情况，使得到的模型能以最大概率产生样本数据。
8．普通最小二乘参数估计量和估计值各有哪些性质？
答：在满足基本假设情况下，一元线性回归模型的普通最小二乘参数估计量是最佳线性无偏估计量。
用普通最小二乘法估计得到的一元线性回归模型的样本回归函数具有如下性质：
????X； ???（Y 、X）1. 样本回归线过样本均值点，即点满足样本回归函数Yi01i 7
??Y； 2. 被解释变量的估计的均值等于实际值的均值，即Y3. 残差和为零，即
?ei?1ni?0；
n4. 解释变量与残差的乘积之和为零，即
?Xei?1ii?0；
n5. 被解释变量的估计与残差的乘积之和为零，即
?Y?ei?1ii?0。
9．随机误差项方差的普通最小二乘估计和最大似然估计各是什么？是否是无偏估计？
随机误差项的方差的普通最小二乘估计量为
?2??是一个无偏估计量。
随机误差项的方差的最大似然估计量为
?ei?1n2in?2
1n2???ei ?ni?12与普通最小二乘估计量不同，随机误差项的方差的最大似然估计量是一个有偏估计量。
10．什么是拟合优度？什么是拟合优度检验？拟合优度通过什么指标度量？为什么残差平方和不能作为拟合优度的度量指标？
答：拟合优度指样本回归线对样本数据拟合的精确程度，拟合优度检验就是检验样本回归线对样本数据拟合的精确程度。
样本残差平方和是一个可用来描述模型拟合效果的指标，残差平方和越大，表明拟合效果越差；残差平方和越小，表明拟合效果越好。但残差平方和是一个绝对指标，不具有横向可比性，不能作为度量拟合优度的统计量。
所以拟合优度检验的度量指标是通过残差平方和构造的决定系数来进行检验的。决定系数公式是：
R2?2ESSRSS?1? TSSTSS与残差平方和不同，决定系数R是一个相对指标，具有横向可比性，因此可以用作拟合优度检验。
11．一元线性回归模型的普通最小二乘参数估计量的分布如何？
? 、??满足线性性，可表示为被解释变量Y的线性组答：由于?0 、?1的普通最小二乘估计量?i018
? 、??也服从正态分布。 合，所以?01所以
?2i?1??N(? ，??N(? ，? ?) ? ) 0011nnn?xi2?xi2i?1?Xn2i2i?1进行标准化变换可得
????00??SE（?0）????00?Xi?1ni?1n （1） ?N（0，1）2i?2n?xi2????????111 （2） ?1?N（0，1）2?SE（?1）??xi?1n2i
其中，随机误差项?i的方差?的真实值未知，只能用其无偏估计量
2?2??2
2
?ei?1n2in?2
? 、??的方差和标准差的估计量分别称为?? 、??的?替代?后得到的?替代。用无偏估计量?0101?表示，即 ?、SE样本方差和样本标准差，样本方差和样本标准差可分别用 Var?（??）Var0??Xi?1ni?1n2in?xi2?（??）? Var?1?2?2??xi?1n
2i?替代?后，式（1）用?、（2）中的统计量服从自由度为n?2的t分布，将替代后的统计量
分别记为t0 、t1，有
22
????0t0?0???SE（?0）????00?Xi?1ni?1n?（tn-2）
2i?2?n?xi2 9
????????11t1??11?（tn-2）
2??SE（?1）???xi?1n2i
12．什么是变量显著性检验？
答：一元线性回归模型中，?1是否显著不为0，反映解释变量对被解释变量的影响是否显著，所以常针对原假设H0 ：?1?0，备择假设H1 ：?1?0，进行检验，称为变量显著性检验。原假设为H0 ：?1?0，备择假设为H1 ：?1?0时，根据原假设
??1t1??（tn-2）
??SE（?1）对于给定的显著性水平?，查自由度为n?2的t分布临界值，并计算t1的值，如果
t1?[?t?，t?]
22接受原假设H0 ：?1?0，认为解释变量对被解释变量的影响不显著；反之，如果
t1?t?
2则拒绝原假设H0 ：?1?0，接受备择假设H1 ：?1?0，认为解释变量对被解释变量的影响显著。
13．为什么被解释变量总体均值的预测置信区间比个别值的预测置信区间窄？
答：被解释变量的总体均值E的波动，主要取决于样本数据的抽样波动。被解释变量的（Y/X0）个别值Y0的波动，除受样本数据的抽样波动的影响外，还受随机误差项?i的影响。反映在式
?（Y?（e）?）（2-50）、式（2-51）中，SE0?SE0，总体均值的预测置信区间窄于个别值的预测置信区
间。
14．由1981—2005年的样本数据估计得到反映某一经济活动的计量经济学 模型，利用模型对2050年该经济活动的情况进行预测，是否合适？为什么？
答：因为在解释变量的样本均值X处，样本观察数据的代表性往往较好，即抽样波动往往较小，被解释变量的总体均值E和个别值Y0的波动较小。反之，解释变量X的取值偏离X的（Y/X0）距离越大，样本观察数据的代表性往往越差，即抽样波动往往越大，被解释变量的总体均值和个别值Y0的波动越大。由此可见，用回归模型作预测时，解释变量的取值不宜偏离E（Y/X0）10