4）上述的回归结果的斜率表示，航班正点达比率提高1个百分点，那么投诉率会将下降0.07041（次/10万乘客）；
5）如果航班正点率为80%，代入到回归方程，可得：
??6.01783?0.07041y?80?0.38468(次/10万乘客)
19．我国1979—2004年的国内生产总值与财政收入数据如表2-10所示。
表2-10 我国国内生产总值与财政收入数据 单位：亿元
年份 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 财政收入Y 1146.38 1159.93 1175.79 1212.33 1366.95 1642.86 2004.82 2122.01 2199.35 2357.24 2664.9 2937.1 3149.48 国内生产总值X 4038.2 4517.8 4862.4 5294.7 5934.5 7171 8964.4 10202.2 11962.5 14928.3 16909.2 18547.9 21617.8 年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 财政收入Y 3483.37 4348.95 5218.1 6242.2 7407.99 8651.14 9875.95 11444.08 13395.23 16386.04 18903.64 21715.25 26396.47 国内生产总值X 26638.1 34634.4 46759.4 58478.1 67884.6 74462.6 78345.2 82067.5 89403.6 97314.8 105172.2 117390.2 136875.9 要求：
1）建立财政收入随国内生产总值变化的一元线性回归模型； 2）对模型进行检验；
3）若2005年的国内生产总值为155936.8，求2005年财政收入的预测值和预测置信区间（取
。 ?=0.05）
解答：1）建立财政收入随国内生产总值变化的一元线性回归模型：
???482.7?0.1662?X Yii(-0.892） (18.411)
R2?0.9339
2）从回归的结果看，模型拟合较好。可决系数为0.9339，表明模型在整体上拟合得非常好。从截距项与斜率项的t检验值看，在5%的显著性水平下，斜率项通过检验，而截距项则不能通过。去
掉截距项，重新估计模型，可得新的回归方程：
??0.1602?X Yii(26.42)
并且从斜率项的值看，0<0.1602<1，符合实际经济情况。
16
3）若2005年的国内生产总值为155936.8，则2005年财政收入预测的点估计值：
Y2005?0.1602?155936.8? 24984.92在95%的置信度下，Y2005的预测区间为：
（20700.16，29269.68）
第三章 多元线性回归模型
1．多元线性回归模型的基本假设有哪些？在多元线性回归模型的参数估计量的无偏性、有效性的证明中各用了哪些？
解答 多元线性回归模型的基本假设也包括对解释变量的假设、对随机误差项的假设、对模型设定的假设几个方面，主要如下：
（k?1）1）解释变量是确定性变量，不是随机变量，解释变量之间不相关，即X矩阵是n?阶
非随机矩阵，X矩阵列满秩
Rank（X）?k?1
据此，有
Rank（X?X）?k?1
矩阵X?X非奇异。
2）随机误差项具有0均值、同方差，且在不同样本点相互独立，不存在序列相关性，即
E（?i）?0 i?1，2，?，n Var（?i）??2 i?1，2，?，n
Cov（?i ，?j）?0 i?j i?1，2，?，n
用矩阵形式表示为
（?1）??1??E??????E（?）2?E（?）? E?2????0 ???????????E（?）n??n??Cov（?）? E{???E（?）]???E（?）]?}?E（???）
??20?0???20??0???2I ????????2?00????3）解释变量与随机误差项不相关，即
Cov（Xji ，?i）?0 j?1，2，?，k i?1，2，?，n
4）随机误差项服从正态分布，即
17
?i?N(0,?2) i?1，2，?，n
用矩阵形式可表示为
??N(0,?2I)
5）回归模型是正确设定的。
同一元线性回归模型，在这5条假设中，前4条假设是古典假设，若前两条假设满足，第3条假设自然满足，并且由第2条假设有
E（?i2）??2 i?1，2，?，n E（?i?j）?0 i?j i?1，2，?，n
在证明参数估计量的无偏性时，利用了解释变量非随机或与随机干扰项不相关的假定；在证明参数估计量的有效性时用到了随机干扰项同方差且无序列相关的假定。
2．对于多元线性回归模型Yi??0??1X1i??2X2i????kXki??i，证明 （1）E(Yi)??0??1X1i??2X2i????kXki（2）Var(Yi)??
2
（3）Cov(Yi,Yj)?0 i?j
证 （1）由多元线性回归模型的基本假设可知：
E(?i)?0
那么，
E(Yi)?E(?0??1X1i??2X2i????kXki??i)?E(?0)?E(?1X1i)?E(?2X2i)???E(?kXki)?E(?i) ??0??1X1i??2X2i????kXki（2）证明如下：
?Yi??0??1X1i??2X2i????kXki??i?Xj是确定性量 j?1,2,?,k?Var(Yi)?Var(?i)??2（3）证明如下：
Cov(Yi,Yj)?E[Yi?E(Yi)][Yj?E(Yj)]?E(?i?j)?0
3．在多元模型中，为何要对决定系数进行调整？调整的决定系数R与F的关系如何？ 解答 在多元线性回归模型中，因为决定系数R随解释变量数目的增加而增大（或至少不变），所以不能利用决定系数R进行解释变量数目不同的模型的拟合优度的比较。同时，若以决定系数R度量模型的拟合优度，还会造成通过增加解释变量数目提高模型拟合优度的倾向，而事实上，解释变量的数目并非越多越好，若增加的解释变量不是被解释变量的重要影响因素，甚至是被解释变量的不相关因素，反而会对模型产生负面影响。正是由于存在这样的缺陷，决定系数R在多元线性回归模型拟合优度评价方面的作用受到了很大的限制。
克服决定系数R的上述缺陷的方法，是对决定系数R进行适当的调整，得到调整的决定系数。
222222218
调整的决定系数R与F统计量存在下列关系：
2R2?1?或
n?1
n?k?1?kFR2/k F?
(1?R2)/(n?k?1)
4．t检验、F检验的关系如何？
解答 变量显著性检验（t检验）是针对单个解释变量对被解释变量的影响是否显著所作的检验，检验被检验变量的参数为0是否显著成立；方程显著性检验（F检验）是针对所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著所作的检验，检验被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立。
5．对于多元线性回归模型Yi??1X1i??2X2i????kXki??i （1）求参数的普通最小二乘估计量。
（2）对于该模型，参数的普通最小二乘估计量是否依然满足线性性、无偏性、有效性？ （3）对于该模型，是否依然有
?ei?1ni?0
?ei?1niXji?0(j?1,?2,k, )
?eY??0
iii?1n-1??解答 （1）?（X?X）X?Y
（2）依然满足线性性、无偏性、有效性 （3）依然有
?ei?1ni?0
?ei?1niXji?0(j?1,?2,k, )
?eY??0
iii?1n6．证明，在?显著性水平下，当ti?t?时，?i的置信度为1??的置信区间不包括0。
2解答 在?显著性水平下，当|ti|?t?时，即
2|ti|?|??iS??i?|?t?S????t?S 或 ????t?S? |?t??|???i?i?i????22i2i2i??t?S??0 或 ???t?S??0 ??i?i???2i2i??t?S?,???t?S?) 而在1??的置信度下，?i的置信区间是：(?i?i???2i2i??t?S??0时， ?的置信区间的下限大于0； 当?i?i?2i??t?S??0时， ?的置信区间的上限小于0； 当?i?i?2i 19
??i的置信度为1??的置信区间不包括0。
7．为研究某地家庭书刊消费与家庭收入、户主受教育程度之间的关系，建立了家庭书刊年消费支出Y（元）、家庭月平均收入X1（元）、户主受教育年数X2（年）的模型，用抽样得到的35个家庭的数据估计得
? ? 8.2617 ? 0.0208X ? 1.2698X Yi1i2i t?(3.356763)(?4.237629) (2.965781)R2?0.961542 R2=0.936783 F?98.523926 n?35（1）从经济意义上考察模型的合理性。
（2）在5%的显著性水平上，进行变量显著性检验。 （3）在5%的显著性水平上，进行方程总体显著性检验。
解答 （1）家庭月平均收入越高，家庭书刊年消费支出相应会增加，但不会有收入增加的那么快，所以家庭月平均收入的系数应大于0，小于1；户主受教育年数越多，那么对文化产品的需求也会越多，家庭书刊年消费支出相应会增加，所以其系数大于0。
从经济意义上看，模型参数是比较合理的。 （2）在5%的显著性水平上，查表得
t?(n?k?1)?t0.025(32)?2.036933
2显然，两估计参数计算的t值大于临界值，拒绝它们各自为零的原假设，两变量显著。 （3）在5%的显著性水平上，自由度为（2，32）的F分布的临界值为3.294537，计算的F值大于该临界值，所以拒绝原假设，方程总体显著。
8．（注意：本题数据有误，需修改，回归平方和、总平方和调换了位置）一个二元线性回归模型的回归结果如表3-5所示。
表3-5 回归分析结果
方差来源 来自回归 来自残差 来自总离差 平方和 17058 26783 自由度 32 （1）求样本容量n，残差平方和RSS，回归平方和ESS的自由度，残差平方和RSS的自由度。 （2）求决定系数R和调整的决定系数R。
（3）根据以上信息，在给定显著性水平下，可否检验两个解释变量对被解释变量的联合影响是否显著？为什么？
（4）根据以上信息，在给定显著性水平下，可否检验两个解释变量各自对被解释变量的影响是否显著？为什么？
解答 （1）总离差平方和的自由度为n-1，所以样本容量为33。
22RSS?TSS?ESS?26783-17058?9725
因为回归平方和的自由度为解释变量个数，所以为2。残差平方和的自由度为n-k-1=30。
20