解：图示瞬时方向余弦阵
?cos45??sin45???2/2?2/2??l1?A1???，?????1?0? sin45?cos45?2/2????2/2???cos(?30?)?sin(?30?)??3/2A2?????sin(?30?)cos(?30?)????1/2?l2?1/2?，???2?0? 3/2???(1) OA杆的位形q1??00?/4?
T?xA??xO??2/2?2/2??l1??0??l12/2??l12/2????? ?????????y???y???002/2??????l12/2??l12/2??A??O??2/2套筒AB的位形q1??xA
(2) B点的位置坐标阵
?xB??xA??3/2?y???y????B??A???1/2yA??/6?T?2??l1?22l12???? 6?T?1/2??l2???????3/2??0????2??3?l1?l2??1(2l?3l)?1222???2? ????12??1??(2l?l)?12?2??l2l1???2??2?
三、半径为r的圆盘与长度为l的直杆AB在盘心A铰接，圆盘沿水平面纯滚，AB杆B端沿铅直墙壁滑动。在图示位置，圆盘的角速度为?，角加速度为?，杆与水平面的夹角为?，试求该瞬时杆端B的速度和加速度。
解：(1) 球速度，速度瞬心C如图 B AC?lsin?，BC?lcos?
vA?r? （2分）
? l ? vAr??（2分） AClsin?r?vB?BC??AB?lcos??r??cot?
lsin?（2分） （图1分）
?AB?r ? A
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C?ABB ?aAB ??? l ? ?vBl AB??aA?naBAr ? ?aB?taBAA ? A
(2) 球加速度 （图2分）
aA?r? （1分）
anBA?AB??2ABr?2r2?2?l()?（1分）
lsin?lsin2?以A点为基点求B点加速度
???t?naB?aA?aBA?aBA （*）
n式（*）向?轴投影：?aBsin???aAcos??aBA（2分）
?1r2?2r2?2aB?(r?cos??)?r?cot??（2分） 2sin?lsin?lsin3?四、图示系统，均质圆盘O1、O2质量均为m，半径均为R，圆盘O2上作用已知力偶M，使圆盘绕O2轴转动，通过自重不计的水平绳带动圆盘O1在水平面上纯滚。试完成： (1) 用拉格朗日方程求盘心O1的加速度； (2) 求水平绳的张力；
R M (3) 滑轮O1与地面的静摩擦力。 O 解：(1) 求加速度
选O2轮的转角?2为广义坐标
T?T1?T2
2?1J?2?1J?2?1(3mR2?12?1mR2?2) 2S12O222222?1mR2(3?12??2) （4分） 42R O1 S 由运动学知
?1???2/2 （1分） 2R?1?R?2，或?
第 7 页 共 20 页 代入动能得 T?14mR(322?2?42?2??)?72?2mR2? （1分）
16广义力：Q?2?M（1分） 代入拉氏方程
d?T?T8M7??2???2?M，得：???Q?2，有mR2?（2分） 2?dt??2??287mR??1?又由运动学知圆盘的角加速度 ???2?2?4M 7mR2?FT?F2yO2R4M??1?盘心O1的加速度： aO1?R?（1分）
7mR(2) 求绳的张力（5分） [法一]以O2轮为研究对象
?mg?F2xM DR ?FT??M?FR，即JO???2?M?FTR 由LO2T2M1M4M3M??2?得：FT? ?mR???R2R7R7RO1 [法二]或以O1轮为研究对象
??F2R，即J???由LSTS1?FT?2R
?FS?mg?SFN得：FT?33M??1?mR? 47R(2) 求摩擦力（5分） 以O1轮为研究对象 [法一]运用质心运动定理
ma1?FT?FS， FS?ma1?FT?m4M3MM??
7mR27R7R?????[法二]对动点D运用动量矩定理 LD?vD?mvO1?MD(F)
1??1?R?maO1?FS?2R (?JC?R?mvO1)?0?FS?2R，即?mR2?214M14MM得：FS? (mR?mR2)?22R7mR27mR7R
ddt五、图示机构，在铅垂面内，曲柄OA和连杆AB是相同的均质杆，长OA?AB?l，自重不计，滑块B重G，曲柄OA上作用一力偶M，使机构静止平衡。已知静止平衡时曲柄OA与
第 8 页 共 20 页 水平线夹角为?，试用虚位移原理求机构平衡时力偶M。
?y B B ?G?G1DA
A M O CO ?? G1M ?x
? 解：虚功方程 FByδyB?FDyδyD?FCyδyC?Mδ??0
或 Mδ??GδyB?G1δyD?G1δyC?0 (*) （5分）
3?，yC?1B、C、D三点的y坐标为 yB?2lsin2lsin?，yD?2lsin? （3分）
lcos??δ?，δyD?3lcos??δ? （1分） s?δ?，δyC?1求变分： δyB?2lco?22s?δ??G11lco?s?δ??G13lco?s?δ??0 代入(*)式 Mδ??G?2lco?22s?2G1lco?s?0（1分） 或 M?G?2lco?s 得： M?2(G??G1)lco?
六、一边长为 a 的正立方体所受的力系如图所示，其中F1?F,F2?2F，试用坐标矩阵法求力系向O点简化的结果。
????解：建立参考基e?[xyz]T如图
?F1?0??0????F写出两个力的坐标阵F1???F?，F2???????0????F??分）
（4
??由主矢FR??Fi，可得主矢的坐标阵
O?F2
第 9 页 共 20 页 ?0??0??0????F???0?（2分） FR??Fi???F????????0?????F?????F???????得：FR??Fz，即简化所得的力FO?FR??Fz
?z?F1?r1?r2O（1分）
??假设各力作用点的位置矢量r1和r2，对应的坐标阵
?y?F2?0??b??，r??0?（2分） r1??b2???????b???b???x由此写出坐标方阵
?bb??00??0?b?~~?b?（2分） r1??b00，r?0?b2??????00?b0???b??0????r1F1?~r2F2 主矩MO??MO(F)，对应的坐标阵MO?M1?M2?~?0?bb??0??bF??0?b0??0???bF????F???0?，~?b0?b??F???bF?（2分） ~r1F1??b00rF?22??????????????0???b00????0????0???0b????F????bF???bF???bF??0????bF???bF? 0这样得：MO?M1?M2??????????0????bF????bF?????即主矩：MO?bFy?bFz（2分）
简化的结果是一个力和一个力偶，这个力矢量和力偶矩矢量为：
??????FO?FR??Fz，MO?bFy?bFz
七、质量不计的圆环如图，在径向焊接一个质量为m、长为r的均质细棒，圆环可在水平面上纯滚，求系统的运动微分方程。
（提示：余弦定理：c2?a2?b2?2abcos?；sin(???)?sin?）
解：
?。 [法一]选圆环的转角?为广义坐标，圆环的角速度为?(1) 运动分析：
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