件是：它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1。
证 必要性。设
f?x1,x2,?,xn???a1x1?a2x2???anxn??b1x1?b2x2???bnxn?， 其中ai,bi?i?1,2,?,n?均为实数。
1） 若上式右边的两个一次式系数成比例，即 bi?kai ?i?1,2,?,n? 不失一般性，可设a1?0，则可作非退化线性替换 ?y1?a1x1?a2x2???anxn ?
?i?2,?,n??yi?xi使二次型化为
f?x1,x2,?,xn??ky12， 故二次型f?x1,x2,?,xn?的秩为1。
2） 若两个一次式系数不成比例，不妨设
a1b1?a2b2，则可作非退化线性替换
?y1?a1x1?a2x2???anxn? ?y2?b1x1?b2x2???bnxn，
?y?x?i?3,?,n?i?i使
f?x1,x2,?,xn??y1y2。 再令
?y1?z1?z2? ?y2?z1?z2，
?y?z?i?3,?,n?i?i则二次型可化为
22 f?x1,x2,?,xn??y1y2?z1?z2，
故二次型f?x1,x2,?,xn?的秩为2，且符号差为0。
充分性。1）若f?x1,x2,?,xn?的秩为1，则可经非退化线性替换Z?CY使二次型化为
2 f?x1,x2,?,xn??ky1，
其中y1为x1,x2,?,xn的一次齐次式，即
y1?a1x1?a2x2???anxn， 且
f?x1,x2,?,xn??k?a1x1?a2x2???anxn?
??ka1x1?ka2x2???kanxn??a1x1?a2x2???anxn?。 2）若f?x1,x2,?,xn?的秩为2，且符号差为0，则可经非退化线性替换Z?CY使二次型化为
2 f?x1,x2,?,xn??y12?y2??y1?y2??y1?y2?
2 ??a1x1?a2x2???anxn??b1x1?b2x2???bnxn?， 故f?x1,x2,?,xn?可表成两个一次齐次式的乘积。
7．判断下列二次型是否正定：
2221）99x1?12x1x2?48x1x3?130x2?60x2x3?71x3；
2222）10x1?8x1x2?24x1x3?2x2?28x2x3?x3；
n3）?xi?i?1n2?x1?i?j?nn?1ixj；
4）?x?i?12i?xi?1ixi?1。
解 1）二次型的矩阵为
?99? A???6?24??6130?3024???30?， 71??因为
?1?99?0, ?2?故原二次型为正定二次型。
2） 二次型的矩阵为
?10?A? ?4?12?42?1412???14?， 1??99?6?6130?0, ?3?A?0，
因为A?0，所以原二次型非正定。
3） 记二次型的矩阵为A??aij?n?n，其中
i?j aij即
??1??1?2 A??1??2??1???212112?1212121?12?1,???1?,?2，
i?j?????1??2?1?2?1?， ?2???1???由于A的任意k阶顺序主子式所对应的矩阵Ak与A为同类型的对称矩阵，且
?1?????2?k Ak?k?1??0?k?1,2,?,n?，
故原二次型为正定二次型。
4） 记二次型的矩阵为A??aij11121?????11220?1? ???0?2??0k?n?n，则A的k级顺序主子式为
2?1?????2?121k12?????2112 Ak?21
1320?00143?0?????000?k?1k?1?????2?k?k?1??0，
故原二次型为正定二次型。
8．t取什么值时，下列二次型是正定的：
221）x12?x2?5x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3
222）x12?4x2?x3?2tx1x2?10x1x3?6x2x3
解 1）二次型的矩阵为 ?1? A??t??1?t12?1??2?， 5??因为A的各阶顺序主子式为
?1?1?0， ?2?1tt1?0，
1t12?12?0， 5 ?3?A?t?1当原二次型为正定时，有
2??1?t?0 ?，
2???5t?4t?0解上面不等式组，可得?45?t?0。
2）二次型的矩阵为
?1? A??t?5?t435??3?， 1??当A的所有顺序主子式都大于零时，即 ?1?1?0， ?2?1tt4?4?t2?0，
1t4353??t?30t?105?0， 12 ?3?A?t5由原二次型为正定得
2??4?t?0 ?，
2???t?30t?105?0但此不等式组无解，即不存在t值使原二次型为正定。
9．证明：如果A是正定矩阵，那么A的主子式全大于零。所谓主子式，就是行指标与列指标相同的子式。 证 设正定矩阵A??aij xj?0则可得新二次型
kiki?nnn?n，作正定二次型?i?1?aj?1ijxixj，并令
?j?k1,k2,?,ki,k1?k2???ki?，
??aijxixj，
i?k1j?k1由正定二次型的定义知该二次型是正定的，故A的一切i级主子式Ai?0?i?1,2,?,n?。 10．设A是实对称矩阵，证明：当实数t充分大之后，tE?A是正定矩阵。
证
?t?? tE?A??????a11a21?an1a12t?a22?an2????a1na2n?t?ann????， ???它的k级顺序主子式为
t?a11a12t?a22?ak2????a1ka2k?t?akk ?k?t??a21?ak1
当t充分大时，?k?t?为严格主对角占优矩阵的行列式，且t?aii?故?k?t??0?k?1,2,?,n?，从而tE?A是正定的。 11．证明：如果A是正定矩阵，那么A?1也是正定矩阵。
?j?iaij?i?1,2,?,n?，
证 因A是正定矩阵，故X?AX为正定二次型，作非退化线性替换X?A?1Y，又A?1也是对称矩阵，故
Y?AY?Y??A?1?1??AA?1Y?X?AX?0，
从而Y?A?1Y为正定二次型，即证A?1为正定矩阵。
12．设A为一个n级实对称矩阵，且A?0，证明：必存在实n维向量X?0，使
?