?n?1??n??1 ??x1,x2,?,xx??n???1??n?nn?1n?1?n?1????1??n?1??n???n?1??n???x1??x2????x?n???? ??? ?Z?AZ， 所以
?2??0??0 T?AT??????0??00320?000043?00??????000?nn?100??0??0??。 ???0??0?2． 设实二次型
f?x1,x2,?,xn????ai?1s2i1x1?ai2x2???ainxn?，
证明：f?x1,x2,?,xn?的秩等于矩阵 ?a11??a21 A?????a?s1a12a22?as2????a1n??a2n? ???asn??的秩。
证 设rank?A??r，因
f?x1,x2,?,xn??X??A?A?X，
下面只需证明rank?A??r即可。由于rank?A???rank?A?，故存在非退化矩阵P,Q使
?Er0??Er????PA 或 ?00???0??1?Q， 0?? PA?Q???0?从而
?Er??PAAP? ?0?0??1?1?QQ?0???????Er?00??， 0??令
Q?1?Q?1????D?则
?Er PA?AP????0?0??Br???0???D??BrC??， ?M?C??Er???M???00??Br????0???00??。 0???由于Q?1?Q?1?是正定的，因此它的r级顺序主子式Br?0，从而A?A的秩为r。
即证rank?A??rank?A?A?。 3． 设
f?x1,x2,?,xn??l1?l2???lp?lp?1???lp?q。
22222其中li?i?1,2,?,p?q?是x1,x2,?,xn的一次齐次式，证明：f?x1,x2,?,xn?的正惯性指数?p，负惯性指数?q。
证 设 li?bi1x1?bi2x2???binxn ?i?1,2,?,p?q?，
f?x1,x2,?,xn?的正惯性指数为s，秩为r，则存在非退化线性替换
yi?ci1x1?ci2x2???cinxn ?i?1,2,?,n?， 使得
f?x1,x2,?,xn??l1?l2???lp?lp?1???lp?q
222222222 ?y1???ys?ys?1???yr。
下面证明s?p。采用反证法。设s?p，考虑线性方程组
?b11x1???b1nxn?0?????????????bp1x1???bpnxn?0 ?，
cx???cx?0s?1,nn?s?1,11?????????????cn1x1???cnnxn?0该方程组含p?n?s个方程，小于未知量的个数n，故它必有非零解?a1,a2,?,an?，于是 f?a1,a2,?,an???lp?1???lp?q?y1???ys，
2222上式要成立，必有
lp?1???lp?q?0， y1???ys?0，
这就是说，对于x1?a1,x2?a2,?,xn?an这组非零数，有 y1?0，y2?0,?,yn?0 ，
这与线性替换Y?CX的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以 s?p。
同理可证负惯性指数r?s?p，即证。 4． 设
A???A11A12??AA??? 2122?是一对称矩阵，且A?EX??A1111?0，证明：存在T????0E??使T?AT?????0个级数与A22相同的矩阵。 证 只要令T????E0???1??AA??T??E??A11??A??12??12111E?，则
???0?， E?注意到
A12?A?21， ?A?1??111??A11， 则有
T?AT???E0?A12???E??A11?E?A?111A12???A??21A?111???A21A??22????0E? ? ???A11A12??A?111A12??? ?0?A?1??E???21A11A12?A22???0E?? ???A110???0???。 ?即证。
5． 设A是反对称矩阵，证明：A合同于矩阵
??01????10?????? ?01????10?。 ???0???????0??
0????，其中?表示一?
证 采用归纳法。当n?1时，A??0?合同于?0?，结论成立。下面设A为非零反对称矩阵。 当n?2时
?0 A????a12??1a12?第2行乘a12??10??第2列乘a12?0???1?1??， ?0?故A与???0??11??合同，结论成立。 ?0? 假设n?k时结论成立，今考察n?k?1的情形。这时 0???? A???a1k???a1,k?1?????a1k?0?ak,k?1a1,k?1????，
ak,k?1??0??如果最后一行（列）元素全为零，则由归纳假设，结论已证。若不然，经过行列的同时对换，不妨设ak,k?1?0，并将最后一行和最后一列都乘以?0??? ??a1k???b1?????a1k?0?11ak,k?1，则A可化成
b1????， ?1?0??再将最后两行两列的其他非零元bi,aik?i?1,2,?,k?化成零，则有 ??? ??????0?b1,k?100?????b1,k?1?0000?00?10????0?， ?1??0?由归纳假设知
?0? ?????b1,k?1???0?b1,k?1????1?? 与 ???0????10????? ????合同，从而A合同于矩阵
?0???1????
????????10?0?1100?0?1???????， ????1??0??再对上面矩阵作行交换和列交换，便知结论对k?1级矩阵也成立，即证。
6． 设A是n阶实对称矩阵，证明：存在一正实数c，使对任一个实n维向量X都有 X?AX?cX?X。
证 因为
X?AX?令a?maxaij，则
i,j?ai,jijxixj??i,jaijxixj，
X?AX?a?xixji,j。
利用xixj?xi?xj222可得
xi?xj2222?an?xi?cX?X，
i X?AX?a?i,j其中c?an，即证。
7．主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。
1）设A是一对称矩阵，T为特殊上三角矩阵，而B?T?AT，证明：A与B的对应顺序主子式有相同的值；
2）证明：如果对称矩阵A的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵T使
T?AT成对角形；
3）利用以上结果证明：如果矩阵A的顺序主子式全大于零，则X?AX是正定二次型。 证 1）采用归纳法。当n?2时，设 ?a11 A???a?21a12??1??T?， ?0?a22??b??， ?1?则
?1? B?TAT???b?0??a11???1???a21a12??1???a22???0b??a11????1???????。 ???