X?AX?0。
证 因为A?0，于是A?0，所以rank?A??n，且A不是正定矩阵。故必存在非退化线性替换X?C?1Y使
? X?AX?Y??C?1?ACY?Y?BY
?y1?y2???yp?yp?1?yp?2???yn，
且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在Z?C?1Y中，令y1?y2???yp
?0,yp?1?yp?2???yn?1,则可得一线性方程组
222222?c11x1?c12x2???c1nxn?0????????????????cp1x1?cp2x2???cpnxn?0 ?，
?cp?1,1x1?cp?1,2x2???cp?1,nxn?1????????????????cn1x1?cn2x2???cnnxn?1由于C?0，故可得唯一组非零解Xs??x1s,x2s,?,xns?使 Xs?AXs?0?0???0?1?1???1???n?p??0，
即证存在X?0，使X?AX?0。
13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：A?B也是正定矩阵。 证 因为A,B为正定矩阵，所以X?AX,X?BX为正定二次型，且 X?AX?0， X?BX?0，
因此
X??A?B?X?X?AX?X?BX?0， 于是X??A?B?X必为正定二次型，从而A?B为正定矩阵。
14．证明：二次型f?x1,x2,?,xn?是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 证 必要性。采用反证法。若正惯性指数p?秩r，则p?r。即 f?x1,x2,?,xn??y1?y2???yp?yp?1???yr，
22222 若令
y1?y2???yp?0，yp?1???yr?1，
则可得非零解?x1,x2,?,xn?使f?x1,x2,?,xn??0。这与所给条件f?x1,x2,?,xn?
?0矛盾，故p?r。
充分性。由p?r，知
f?x1,x2,?,xn??y1?y2???yp，
222故有f?x1,x2,?,xn??0，即证二次型半正定。
n 15．证明：n?i?1n?n?2xi???xi?是半正定的。
?i?1?n22?? 证 n?xi2???xi?
i?1?i?1?22???xn?? ?n?x12?x2?x21?x2???xn?2x1x2???2x1xn?2x2x3???2x2xn???2xn?1xn
22?222 ??n?1??x1?x2???xn??（2x1x2???2x1xn?2x2x3???
2x2xn???2xn?1xn）
222222 ??x1?2x1x2?x2???x1?2x1x3?x3?????xn?1?2xn?1xn?xn?
???x1?i?j?ni?xj?。
2可见：
1） 当x1,x2,?,xn不全相等时 f?x1,x2,?,xn??2） 当x1?x2???xn时 f?x1,x2,?,xn????x1?i?j?ni?xj??0。
2??x1?i?j?ni?xj??0。
2故原二次型f?x1,x2,?,xn?是半正定的。
16．设f?x1,x2,?,xn??X?AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使 ?AX X1?AX?0， X2?AX证明：必存在实n维向量X0?0使X002?0。
?0。
设A的秩为r，作非退化线性替换X?CY将原二次型化为标准型
22 X?AX?d1y12?d2y2???dryr，
其中dr为1或-1。由已知，必存在两个向量X1,X2使 ?AX X1?AX1?0 和 X22?0，
故标准型中的系数d1,?,dr不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有p个1，q个-1， 且p?q?r，即
2222 X?AX?y1???yp?yp?1???yp?q，
这时p与q存在三种可能：
p?q， p?q， p?q 下面仅讨论p?q的情形，其他类似可证。
令y1???yq?1， yq?1???yp?0， yp?1???yp?q?1， 则由Z?CY可求得非零向量X0使 ?AX X00?y1???yp?yp?1???yp?q?0，
2222即证。
17．A是一个实矩阵，证明：
rank?A?A??rank?A?。
证 由于rank?A??rank?A?A?的充分条件是AX?0与A?AX?0为同解方程组，故只要证明AX?0与A?AX?0同解即可。事实上
AX?0?A?AX?0 ?X?A?AX?0 ??AX???AX??0 ?AX?0，
即证AX?0与A?AX?0同解，故
rank?A?A??rank?A?。
注 该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。
一、 补充题参考解答
1． 用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果： 1）x1x2n?x2x2n?1?x2x2n?1???xnxn?1； 2）x1x2?x2x3???xn?1xn；
n3）?xi?i?1n2?x1?i?j?nixj；
4）?xi?xi?1??2，其中x?x1?x2???xnn。
解 1）作非退化线性替换
?x1?y1?y2n?x?y2?y2n?1?2??????????xn?yn?yn?1 ?，
x?y?ynn?1?n?1?????????x2n?1?y2?y2n?1?x?y?y12n?2n即X?TY，则原二次型的标准形为
222222 f?y1?y2???yn?yn?1???y2n?1?y2n，
且替换矩阵
?1??0??? T??????0?1?01?11?101?1??10?011??0?????， ???0??1??使
?1??? T?AT????????1?1??????， ????1??其中
?????? A??????1??212??121??2?????。 ??????2）若
y1?则
2 y12?y2??y1?y2??y1?y2?
x1?x2?x32， y2?x1?x2?x32，
?x1x2?x2x3， 于是当n为奇数时，作变换
xi?xi?1?xi?2?y??i2?x?xi?1?xi?2? ?yi?1?i ?i?1,3,5,?,n?2?，
2??yn?xn??则
222222 x1x2?x2x3???xn?1xn?y1?y2?y3?y4???yn?2?yn?1，
且当n?4k?1时，得非退化替换矩阵为
?1??1?? T????????1?1?1011???101?1???????1010?1?1010??11??0??1??0?， ???0??1?当n?4k?3时，得非退化替换矩阵为