浙江大学远程教育学院 《工程数学》课程作业
姓名： 杜小勇 学 号： 715100202040
年级： 15秋 学习中心： 西溪直属
————————————————————————————— 《复变函数与积分变换》 第一章
1.1计算下列各式：
（2）（a-bi）3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3=a3-3ab2+i(b3-3a2b) （3）
i解 i
(i?1)(i?2)1.2证明下列关于共轭复数的运算性质： （1）(z1?z2)?z1?z2 （2）(z1z2)?z1z2 （3）(1)?zz2z1(z2?0) z21.4将直线方程ax+by+c=0(a2+b2≠0)写成复数形式.[提示：记x+iy=z.] 1.5将圆周a(x2+y2)+bx+cy+d=0(a≠0)写成复数形式(即用z与z来表示，其中z=x+iy).
1.6求下列复数的模与辐角主值： （1）3?i
1.8将下列各复数写成三角表示式：
（2）sin a+I cos a 1.10解方程：z3+1=0.
1.11指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？ （1）2<|z|<3
（3）
2.2下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？ （1）f(z)=z z2
（2）f(z)=x2+iy2
2.3确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数： （1）
1 2z?1?4?3?32.9由下列条件求解析函数f(z)=u+iv. （1）u(x-y)(x2+4xy+y2) （3）u=2(x-1)y, f(0)=-i （4）u=e x(x cos y - y sin y),f(0)=0 2.13试解方程： （1）ez=1+3 i
（4）sin z+cos z=0 2.14求下列各式的值： （1）cos i （3）(1-i)1+i 第三章
3.1计算积分?0[(x?y)?ix2]dz.积分路径为（1）自原点至1+i的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i；（3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至1+i. 3.2计算积分??c3.6计算??cz（2）|z|=4. dz的值，其中C为（1）|z|=2；
|z|1?i1dz ，其中为圆周|z|=2 2z?z3.8计算下列积分值： （1）?0sinzdz （3）?0(3ez?2z)dz 3.10计算下列积分：
ez（1）??|z?2|?1z?2dz 2z2?z?1（2）??|z|?2z?1dz
ixi（4）??|z|?rdz(r?1) (z?1)n1zdz，其中C是（1）|z|=1；（2）|z-2|=1；（3）|z-1|=；
2(2z?1)(z?2)3.11计算I=??c（4）|z|=3.
3.13计算下列积分： （2）??|z|?2sinz(z?)22cosz（3）??C?C1?C2?z3dz，其中C1：|z|=2，C2：|z|=3.
?dz
第四章
4.2下列级数是否收敛？是否绝对收敛？ （1）?(n?1?1i?) n2nin（2）?
n?1n!?4.4试确定下列幂级数的收敛半径： （1）?nzn?1
n?1??（2）?(1?)nzn
n?11n24.5将下列各函数展开为z的幂级数，并指出其收敛区域： （1）（3）
1 31?z1 (1?z2)2（5）sin 2 z
4.7求下列函数在指定点z0处的泰勒展式： （1）
1，z0=1 z2（2）sin z，z0=1
4.8将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数：
（1）
z?1 ，0<|z|<1,1<|z|<+∞ 2z(z?1)z2?2z?5（3） ，1<|z|<2 2(z?2)(z?1)i ，0<|z-1|<+∞ 1?z14.9将f(z)=2 在z=1处展开为洛朗级数.
z?3z?2（4）cos
第五章
5.3下列各函数有哪些奇点？各属何类型（如是极点，指出它的阶数）： （1）（4）
sinz1z?1 ；（2） ；（3） ；
z3sinz?coszz(z2?4)2ln(1?z)111? ；（5） ；（6） . z2zze?1zz(e?1)5.5如果f(z)与g(z)是以z0为零点的两个不恒为零的解析函数，则
[提示：将
z?z0limf(z)f?(z)?lim （或两端均为∞）. g(z)z?z0g?(z)f(z)?(z)写成(z?z0)m?n的形式，再讨论.]
?(z)g(z)5.7求出下列函数在孤立奇点处的留数：
ez?1（1）
zz7（2） 22(z?2)(z?1)1 zsinzshz（6）
chz（5）
5.8利用留数计算下列积分：