第7章刚体力学习题解答 45 第7章刚体力学习题解答
第七章基本知识小结
⒈刚体的质心
定义：r?c??m?iri/mr?c??r?dm/?dm
求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。 ⒉刚体对轴的转动惯量
定义：I??mir2iI??r2dm
平行轴定理 I2
o = Ic+md 正交轴定理 Iz = Ix+Iy.
常见刚体的转动惯量：
（略） ⒊刚体的动量和质心运动定理
?p?mv????cF?mac ⒋刚体对轴的角动量和转动定理
L?I????I?
⒌刚体的转动动能和重力势能
Ek?12I?2Ep?mgyc
⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动
动力学方程： ?F??ma?c??c?Ic?c
（不必考虑惯性力矩）
动能：E2k?12mv21c?2Ic?c
⒎刚体的平衡方程
?F??0， 对任意轴
???0
7.1.2 汽车发动机的转速在12s内由1200rev/min增加到3000rev/min.⑴假设转动是匀加速转动，求角加速度。⑵在此时间内，发动机转了多少转？
解：⑴????3000?1200)2?/60?t?(12?15.7rad/s2
⑵???2???22)(2?/60)202??(30002?12002?15.7?26.39?102rad
对应的转数=??26.3922??2?3.14?10?420
7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为
??at?bt3?ct4(?:rad,t:s)。求t时刻的角速度和角加速度。
解：??d?2dt?a?3bt?4ct3??d?dt?6bt?12ct2
7.1.4 半径为0.1m的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立o-xy坐标系，原点在轴上，x和y轴沿水平和铅直向上的方向。
边缘上一点A当t=0时恰好在x轴上，该点的角坐标满足θ=1.2t+t2
(θ:rad,t:s)。⑴t=0时，⑵自t=0开始转45o时，⑶转过90o时，A点的速度和加速度在x和y轴上的投影。 y 解：??d?dt?1.2?2t??d?dt?2.0 o A x
⑴t=0时，??1.2,vx?0vy??R?1.2?0.1?0.12m/s
a22.144m/s2x??an??vy/R??0.12/0.1??0
ay?a???R?2.0?0.1?0.2m/s2⑵θ=π/4时,由θ=1.2t+t2,求得t=0.47s,∴ω=1.2+2t=2.14rad/s
第7章刚体力学习题解答 46 第7章刚体力学习题解答
vx???Rcos45???2.14?0.1?2/2??0.15m/s
vy??Rsin45??2.14?0.1?2/2?0.15m/sa???Rcos45???2Rcos45???Rcos45?(???2x)??0.1?22(2.0?2.142)??0.465m/s2
aRsin45???2Rsin45??Rsin45?(???2y??)?0.1?222(2.0?2.14)??0.182m/s2⑶θ=π/2时,由θ=1.2t+t2
,求得t=0.7895s,ω=1.2+2t=2.78rad/s vx???R??2.78?0.1??0.278m/svy?0ax???R??2.0?0.1??0.2m/s2
a222y???R??2.78?0.1??0.77m/s
7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m的平行臂 A C AB和CD支承，以角速率ω=10rad/s逆时针转
动，求臂与铅直成45o时门中心G的速度和加 B D 速度。
解：因炉门在铅直面内作平动，所以门中 ·G 心G的速度、加速度与B点或D点相同，而B、 D两点作匀速圆周运动,因此
vG?vB??AB?10?1.5?15m/s，方向指向右下方，与水
平方向成45o；
aG?aB??2AB?102?1.5?150m/s2，方向指向右上方，
与水平方向成45o
7.1.6 收割机拨禾轮上面通常装4到 压板 6个压板，拨禾轮一边旋转，一边随收割 机前进。压板转到下方才发挥作用，一方
面把农作物压向切割器，一方面把切下来 切割器 的作物铺放在收割台上，因此要求压板运
动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反。
已知收割机前进速率为1.2m/s，拨禾轮直径1.5m，转速22rev/min,求压板运动到最低点挤压作物的速度。
解：拨禾轮的运动是平面运动，其上任一点的速度等于拨禾轮轮心C随收割机前进的平动速度加上拨禾轮绕轮心转动的速度。压板运动到最低点时，其转动速度方向与收割机前进速度方向相反，压板相对地面（即农作物）的速度
v?vc??R?1.2?2??22.560?12??0.53m/s
负号表示压板挤压作物的速度方向与收割机前进方向相反。
7.1.7飞机沿水平方向飞行，螺旋桨尖端所在半径为150cm，发动机转速2000rev/min. ⑴桨尖相对于飞机的线速率等于多少？⑵若飞机以250km/h的速率飞行，计算桨尖相对地面速度的大小，并定性说明桨尖的轨迹。
解：⑴桨尖相对飞机的速度：
v'??r?2000?2?60?1.5?314m/s
⑵桨尖相对地面的速度：v??v?'?v?机地，飞机相对地面的速度与螺旋桨相对飞机的速度总是垂直的，v250?103机地?60?60?69.4m/s
所以，v?v'2?v2机地?3142?69.42?321.6m/s
显然，桨尖相对地面的运动轨迹为螺旋线
第7章刚体力学习题解答 47 第7章刚体力学习题解答
7.1.8桑塔纳汽车时速为166km/h，车轮滚动半径为0.26m，发动机转速与驱动轮转速比为0.909, 问发动机转速为每分多少转？
解：设车轮半径为R=0.26m，发动机转速为n1, 驱动轮转速为n2, 汽车速度为v=166km/h。显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘的线速度，v?2?Rn2?2?Rn1/0.909，所以： n431?0.909v909?166?1032?R?0.2?3.14?0.26?9.24?10rev/h?1.54?10rev/min
7.2.2 在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置。⑴圆锥体为匀质；⑵密度为h的函数：ρ=ρ0（1-h/L）,ρ0为正常数。 解：建立图示坐标o-x,据对称性分析， L 质心必在x轴上,在x坐标处取一厚为dx o r a x 的质元 dm=ρπr2
dx，∵r/a=x/L，r=ax/L
∴ dm=ρπa2x2dx/L2 h ⑴圆锥体为匀质，即ρ为常数，
总质量：m??dm???a2L2L2?xdx0?123??aL
?xdm???a2x3质心：xdx/23Lx3dx3c??dm?L??a2L/3?L3?4L0?
⑵???hL?x0(1?L)??0(1?L)??0Lx
总质量：m??dm??0?a231L3?L0xdx?4?0?a2L
质心：xxdm4c???dm?L4?L40xdx?45L
7.2.3 长度为L的匀质杆，令其竖直地立于光滑的桌面上，然后放开手，由于杆不可能绝对沿铅直方向，故随即到下。求杆子的上端点运动的轨迹（选定坐标系，并求出轨迹的方程式）。
解：设杆在o-xy平面内运动。因杆 y 在运动过程中，只受竖直向上的支承力和 竖直向下的重力的作用，在水平方向不受 外力作用，∴vcx=0,acx=0，即质心C无水 平方向的移动，只能逆着y轴作加速直线
运动，直到倒在桌面上。 o x 取杆的上端点的坐标为x,y，匀质杆的质心在其几何中心，由图示的任一瞬间的几何关系可知：4x2+y2=L2(x≥0,y≥0)
7.3.1 ⑴用积分法证明：质量为m常为l的匀质细杆对通过中心
且与杆垂直的轴线的转动惯量等于1212ml；⑵用积分法证明：质量为m半径为R的匀质薄圆盘对通过中心且在盘面内的轴线的转动惯
量等于14mR2 证明：⑴取图示坐标，在坐标x处取一线元，dm?mldx，它
对y轴的转动惯量为：dI?mlx2dx，
y x 整个细杆对y轴的转动惯量：
-l/2 dx l/2 l/2I?ml/2ml3l32l?x2dx?m3lx3|?l/2?3l(8?8)?112ml?l/2
⑵在坐标x处取细杆状质元，
R dm?m2R2?x2dx?2m22x θ x ?R2??R2R?xdx
第7章刚体力学习题解答 48 第7章刚体力学习题解答
它对x轴的转动惯量：
dI?1dm(2R2?x2)2?122123dm(R?x)?2m23?R2(R?x2)3/2dx
R整个圆盘对x轴的转动惯量：I?2m23?R2?(R?x2)3/2dx
?R为了能求出积分，作如下变换：x?Rcos?,dx??Rsin?d?
(R2?x2)3/2?(R2?R2cos2?)3/2?(R2sin2?)3/2?R3sin3?
0?代入上式：I?2m333?R2?Rsin?(?Rsin?d?)?2mR23??sin4?d?
?0据三角函数公式：sin2??1?cos2?2?2,cos2??1?cos2
?sin4??(1?cos2?21(1?2cos2??cos22)?42?)?11?2cos2??1?cos4?4(2)?134(?2cos2??122cos4?)
I?2mR2133??4(?2cos2??122cos4?)d?????mR2??36?d??cos2?d21??2????8?cos4?d4?? 000??mR26?(3??sin2?|??1220?18sin4?|0)?4mR
7.3.2 图示实验用的摆，l=0.92m,r=0.08m,ml=4.9kg,mr=24.5kg,近似认为圆形部分为匀质圆盘，长杆部分为匀质细杆。求对过悬点且与盘面垂直的轴线的转动惯量。 o 解：摆对o轴的转动惯量I等于杆对o轴的转动 l 惯量Il加上圆盘对o轴的转动惯量Ir，即I=Il+Ir.根据
平行轴定理
I121l?12mlll?ml(22)?3mll2,r I1m22r?2rr?mr(l?r)I?1m212(l?r)23ll?2mrr?mr
?1?4.9?0.922?1232?24.5?0.08?24.5(0.92?0.08)2?26kgm27.3.3 在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，圆孔中心在半径R的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。
解：大圆盘对过圆盘中心o且与盘面 R 垂直的轴线（以下简称o轴）的转动惯量 r r
为 I?12MR2.由于对称放置，两个小圆 o 盘对o轴的转动惯量相等，设为I’，圆盘
质量的面密度σ=M/πR2，根据平行轴定理，
I'?12222Mr42(??r)r?(??r)(R2)?2R2?14Mr2
设挖去两个小圆盘后，剩余部分对o轴的转动惯量为I”
I\?I?2I'?12MR2?Mr4R2?12Mr2?1222M(R?r?2r4/R2)
7.3.5一转动系统的转动惯量为I=8.0kgm2
，转速为ω=41.9rad/s，
两制动闸瓦对轮的压力都为392N，闸瓦与轮缘间的摩擦系数为μ=0.4，轮半径为r=0.4m，问从开始制动到静止需多长时间？
解：由转动定理：
闸瓦 ??I?,???2?0.4?392?0.4I?8.0?15.68rad/s 制动过程可视为匀减速转动，????/?t
闸瓦 第7章刚体力学习题解答 49 第7章刚体力学习题解答
?t???/??41.9/15.68?2.67s
7.3.6 匀质杆可绕支点o转动，当与杆垂直的冲力作用某点A时，支点o对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化，则A点称为打击中心。设杆长为L，求打击中心与支点的距离。 y 解：建立图示坐标o-xyz,z轴垂直纸面向外。 N 据题意，杆受力及运动情况如图所示。由质心运 o x 动定理：N?mg?0,F?maLc?m2?(1) ac mg 由转动定理；F0A?I?1o?3mL2?(2) A F 把⑴代入⑵中，可求得 oA?23L
7.3.7 现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量。用轻线且尽可能润滑轮轴。两端悬挂重物质量各为m1=0.46kg，m2=0.5kg，滑轮半径为0.05m。自静止始，释放重物后并测得0.5s内m2下降了0.75m。滑轮转动惯量是多少？
解： T2 T1 β x o R
a a y m2g m1g T2 T1 m2 m1
隔离m2、m1及滑轮，受力及运动情况如图所示。对m2、m1分别应用牛顿第二定律：m2g?T2?m2a(1);T1?m1g?m1a(2)
对滑轮应用转动定理：(T2?T1)R?I??Ia/R （3） 质点m2作匀加速直线运动，由运动学公式：?y?12at2，
?a?2?y/t2?2?0.75/5.02?0.06m/s2
由 ⑴、⑵可求得 T2?T1?(m2?m1)g?(m2?m1)a,代入（3）中，可求得 I?[(m2?m1)g/a?(m2?m1)]R2，代入数据：
I?(0.04?9.8/0.06?0.96)?0.052?1.39?10?2kgm2
7.3.8斜面倾角为θ，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R，转动惯量为I，受到驱动力矩τ，通过绳所牵动斜面上质量为m的物体，物体与斜面间的摩擦系数为μ，求重物上滑的加速度，绳与斜面平行，不计绳质量。
解：隔离鼓轮与重物，受力分析如图，其中T为绳中张力，f=μN为摩擦力，重物上滑加速度与鼓轮角加速度的关系为a=βR
对重物应用牛二定律：
T- μN- mgsinθ=ma, N=mgcosθ，代入N 前式，得 T- μmgcosθ- mgsinθ=ma ① f T β θ τ 对鼓轮应用转动定理： a τ- TR=Iβ=Ia/R ②
mg T 由①②联立，可求得重物上滑的加速度：
2a??R?Rmg(?cos??sin?)I?mR2
7.3.9利用图中所示装置测一轮盘的转动惯量，悬线和轴的垂直距离为r，为减小因不r 计轴承摩擦力矩而产生的误差，先悬挂质量较小的重物m1，从距地面高度为h处由静止m1,m2 开始下落，落地时间为t1，然后悬挂质量较
h