第7章刚体力学习题解答 50 第7章刚体力学习题解答
大的重物m2，同样自高度h处下落，所需时间为t2，根据这些数据确定轮盘的转动惯量，近似认为两种情况下摩擦力矩相等。
解：隔离轮盘与重物，受力及运动情况如图τf T 示：τf为摩擦力矩，T为绳中张力，a=βr
对轮盘应用转动定理： β r a T1r??f?I?1，T2r??f?I?2，两式相减，得：
T mg (T2?T1)r?I(?2??1),I?(T2?T1)r/(?2??1)①
对重物应用牛顿二定律：
m1g?T1?m1a1?m1r?1,m2g?T2?m2a2?m2r?2，两式相减，
可得：T2?T1?(m2?m1)g?r(m2?2?m1?1)，代入①中，可得：
I?[(m2?m1)gr?(m22?2?m1?1)r]/(?2??1)②
由运动学公式：h?1a212,?a221t1?2a2t21?2h/t1,
a2hhh2?t2,?1?22,?2?22rt1rt2，将角加速度代入②中，得：
2(m?m(m2h2hr2I?21)gr?2rt2?m21rt2)12h?2hrt2rt22122?(m2?m1)gr2?2hr(m2/t2?m21/t1)
2h(t2t2221?2)/(t1t2)(m222222?2?m1)grt1t2?2hr(m2t1?m1t2)2h(t221?t2)
7.4.1 扇形装置如图，可绕光滑的铅直轴线o转动，其转动惯量为I.装置的一端有槽，槽内有弹簧，槽的中心轴线与转轴垂直距离为r。在槽内装有一小球，质量为m，开始时用细线固定，使弹簧处于压缩状态。现在燃火柴烧断细线，小球以速度v0弹出。求转动装置的反冲角速度。在弹射过程中，由小球和转动装置构成的系统动能守恒否？总机械能守恒否？为什么？
解：取小球、转动装置构成的物体系为研究对象。在弹射过程中，物体系相对竖直轴o未受外力距作用，故物体系对转轴o的角动量守恒，规定顺时方向为正，有 v0 I??rmv0?0???rmv0/I r m 在弹射过程中，物体系动能不 o I 守恒，因弹力做正功使动能增加；
总机械能守恒，因为只有保守内力（弹力）做功。
7.4.2 质量为2.97kg，长为1.0m的匀质等截面细杆可绕水平光滑的轴线o转动，最初杆静止于铅直方向。一弹片质量为10g，以水平速度200m/s射出并嵌入杆的下端，和杆一起运动，求杆的最大摆角θ. o 解：将子弹、杆构成的物体系作为研究对象， 整个过程可分为两个阶段研究：
第一阶段，子弹与杆发生完全非弹性碰撞， l M θ 获得共同的角速度ω，此过程时间极短，可认
为杆原地未动。由于在此过程中，外力矩为零， m v
因此角动量守恒，mvl?ml2??123Ml??(m?13M)l2?
???mv0.01?200(m?M/3)l?(0.01?2.97/3)?1.0?2.0rad/s
第二阶段，子弹与杆以共同的初角速度ω摆动到最大角度θ，由于在此过程中，只有重力做功，所以物体系的机械能守恒，物体
第7章刚体力学习题解答 51 第7章刚体力学习题解答
系原来的动能等于重力势能的增量：
1122(m?1?cos?)?Mgl3M)l?2?mgl(2(1?cos?)
?cos??1?(m?M/3)l2.01?2.97/3)?1.0?2.02(2m?M)g??1?(0(2?0.01?2.97)?9.8?0.8635θ=30o34’
7.4.3一质量为m1，速度为v1的子弹沿水平面击中并嵌入一质量为m2=99m1，长度为L的棒的端点，速度v1与棒垂直，棒原来静止于光滑的水平面上，子弹击中棒后共同运动，求棒和子弹绕垂直与平面的轴的角速度等于多少？
解：以地为参考系，把子弹和棒看作A m2,L 一个物体系，棒嵌入子弹后作平面运动，
可视为随质心C的平动和绕质心C的转
v1 C O
动，绕质心C转动的角速度即为所求。
m1
据质心定义:
m1CO?m2CO?CA100Lm?2CA,m1m?2CA,99?2CA，CA?99L/200?0.495L,CO?0.5L?0.495L?0.005L
据角动量守恒：m21v1CA?(m1CA?1212m2L?m22CO)?
m21v1?0.495L?m1(0.495?12212?99?99?0.005)L?0.495v21?(0.495?99/12?99?0.0052)L?
??0.058v1/L
7.5.1 10m高的烟囱因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度，设倾倒时，底部未移动，可近似认为烟囱为匀质杆。
解：设烟囱质量为m，高为h，质心高度hC=h/2，对转轴的转动惯量I?12212mh2?m(h2)?13mh，倒在地面上时的角速度为ω
由机械能守恒：
mgh122C?12I?2,mg?h2?2?13mh?,??3g/h
上端点到达地面时的线速度： v??h?3gh?3?9.8?10?17.2m/s
7.5.2 用四根质量各为m长度各为l的匀质细杆制成正方形框架，可绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点o是光滑的。最初，框架处于静止且AB边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当AB边达到水平时，框架质心的线速度vc及框架作用于支点的压力N.
解：先求出正方形框架对支点o的转动惯量： o A I?Il)2?I2oc?4m(2c?ml I(12l4272 Ep=0 B c?412ml?m24)?3ml?Io?3ml设AB边达到水平位置时，框架的角速 B A 度为ω，据机械能守恒定律： 4mgl2?122Io??17222(3ml)? ???12g37l,vc?12l??7gl
AB边在水平位置时，框架所受到的向上的支撑力N和向下的重力W的作用线均通过支点o，对o轴的力矩为零，据转动定理，
框架的角加速度为零，∴a2
c=ωl/2=6g/7，方向向上。规定向上方向为正，对框架应用质心运动定理：
N?4mg?4mac?4m6g?N?4mg(1?6377)?77mg
据牛顿第三定律，支点受到的压力，大小等于N，方向向下。
7.5.3由长为l，质量为m的匀质细杆组成正方形框架，其中一角连于水平光滑转轴O，转轴与框架所在平面垂直，最初，对角线
第7章刚体力学习题解答 52 第7章刚体力学习题解答
OP处于水平，然后从静止开始向下自由摆动，求OP对角线与水平成45°时P点的速度，并求此时框架对支点的作用力。
解：先求出框架对O轴的转动惯量：据平行轴定理， I?I2C?4mOC?4(12212ml?m1l)?4m(142l)2?103ml2
设对角线OP转过45°后框架的角速度为ω，且势能为零，由机械能守恒： N C 4mg(l22sin45?)?12I?,2mgl?5ml23?2
O P
τn ?2?6g5l,??6g5l,vp??2l?235gl
4mg 设支点O对框架的作用力为N，由定轴转动定理：τ= Iβ， ???l/2gI?4mgsin45?10ml2/3?3g5l,a???l?3?3225210g质心的法向加速度 a26gn??OC?5l?lg2?652
在n?方向应用质心运动定理：Nn?4mgcos45??4man， Nmg?4m?6g?(22?24222n?22525?2)mg?52mg
在??方向应用质心运动定理：N??4mgsin45??4ma?
N??4m?3102g?22mg?(65?2)2mg??452mg
N?N2?32?222??N2n25?225mg?6.32mg，设与-??方向夹
角为θ，??arctg|Nn/N?|?arctg5.5?79.7?
7.5.4 质量为m长为l的匀质杆，其B端放在桌上，A端用手支住，使杆成水平。突然释放A端，在此瞬时，求：⑴杆质心的加速度，⑵杆B端所受的力。
解：⑴以支点B为转轴，应用转动 B A 定理：mgl123g2?3ml????2l，质
心加速度 al3c??2?4g，方向向下。 x ⑵设杆B端受的力为N，对杆应用 y 质心运动定理：Ny=0，
Nx - mg = - m ac , Nx = m(g – ac) = mg/4 ∴ N = mg/4，方向向上。
7.5.5 下面是匀质圆柱体在水平地面上作无滑滚动的几种情况，求地面对圆柱体的静摩擦力f.
⑴沿圆柱体上缘作用一水平拉力F,柱体作加速滚动。 ⑵水平拉力F通过圆柱体中心轴线，柱体作加速滚动。 ⑶不受任何主动力的拉动或推动，柱体作匀速滚动。 ⑷在主动力偶矩τ的驱动下加速滚动，设柱体半径为R。 解：规定前进方向和顺时针方向为正方向。
假设静摩擦力方向向后，其余受力情况如图所 N F(1) 所示。对每种情况，都可以根据质心定理、绕 C F(2) 质心轴的转动定理和只滚不滑条件，建立三个 方程求解。 f mg ⑴F?f?ma2c,(F?f)R?12mR?,ac??R
可求得f = - F/3,负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。
⑵F?f?mac,fR?122mR?,ac??R
第7章刚体力学习题解答 53 第7章刚体力学习题解答
可求得f = F/3,正号说明静摩擦力方向与假设方向相同，向后。 ⑶ ac = 0 , f = 0
⑷?f?mac,??fR?122mR?,ac??R,求得f??2?3R
负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。
7.5.6 板的质量为M，受水平力F R 的作用，沿水平面运动，板与平面间的 M2 F 摩擦系数为μ.在板上放一半径为R质 量为M2的实心圆柱，此圆柱只滚动不 滑动。求板的加速度。
解：隔离圆柱，其受力及运动情况如图 β 所示，其中ac为质心对地的加速度，β为相
对质心的角加速度，f2、N2分别为板施加给 W2 ac 圆柱的静摩擦力和压力。 f2 由质心定理：f2?M2ac(1),N2?M2g(2) N2 对质心应用转动定理：f12R?2M22R?(3) N1 隔离木板，其受力及运动情况如图所示， f2 F 其中a为板对地的加速度，f1、N1分别为水平 f1=μN1 Mg 面施加给板的滑动摩擦力和压力。 N2 a 应用牛顿第二定律（或质心定理）：
N1?N2?Mg(4) F??N1?f2?Ma(5)
圆柱在木板上只滚不滑的条件是：a = ac +βR (6)
(圆柱与板接触点对地的加速度等于质心加速度加上绕质心转动的加速度，即ac+βR，它必须等于木板对地的加速度a,才能只滚不滑)
将（2）代入（4）求得：N1=(M+M2)g；由（1）（3）可解得，2ac=Rβ 与（6）联立，可求得，ac=a/3, 代入（1）中，f2 = a M2 /3；
将N1、f2代入（5）中，有
F??(M?M2)g?13M2a?Ma?a?3[F??(M?M2)g]3M?M
2
7.5.7 在水平桌面上放置一质量为m的线轴，内径为b，外径为R,其绕中心轴转动惯量为mR2/3,线轴和地面之间的静摩擦系数为μ。线轴受一水平拉力F,如图所示。
⑴使线轴在桌面上保持无滑滚动之F最大值是多少？
⑵若F和水平方向成θ角，试证，cosθ＞b/R时，线轴向前滚；cosθ＜b/R时，线轴向后滚动。
y 解：可将（1）看作（2）的特殊 F 情况。建立图示坐标，z轴垂直纸面 C b R x 向外，为角量的正方向。根据静摩擦 θ 力的性质，可知其方向与F水平分量 f 方向相反。设线轴质心的加速度为a， 绕质心的角加速度为β。
由质心定理：Fcos??f?ma(1)N?mg?Fsin?(2) 由转动定理：Fb?fR?13mR2?(3)
只滚不滑：a+βR=0 (4) 由⑴,⑶,⑷联立，可求得：
a?3FF4m(cos??bR),??34mR(bR?cos?),f?F4R(3b?Rcos?)
⑴ F为水平拉力时，即 cos??1,f?F4R(3b?R)??mg
?F?4?R3b?Rmg.
⑵ 若cos??bR,a?0,??0，即线轴向前滚；
第7章刚体力学习题解答 54 第7章刚体力学习题解答
若cos??bR,a?0,??0，即线轴向后滚。
7.5.9 一质量为m,半径为r的均质实心小球沿圆弧形导轨自静止开始无滑滚下，圆弧形导轨在铅直面内，半径为R。最初，小球质心与圆环中心同高度。求小球运动到最低点时的速率以及它作用于导轨的正压力。
解：设小球运动到最低点时，其质心速 度为v，绕质心转动的角速度为ω，由机械 能守恒，有mg(R?r)?122mv?122(25mr)?2
只滚不滑条件：ω=v/r,代入上式，可求得 v?710(R?r)g
在最低点应用质心运动定理： N?mg?mv2/(R?r)
?N?m[g?v2/(R?r)]?m(g?710g)?237mg，作用于导轨的
正压力与此等大，方向向下。
7.6.1 汽车在水平路面上匀速行驶，后面牵引旅行拖车，假设拖车仅对汽车施以水平向后的拉力F.汽车重W,其重心与后轴垂直距离为a,前后轴距离为l，h表示力F与地面的距离。问汽车前后论所受地面支持力与无拖车时有无区别？试计算之。
解：隔离汽车，受力
情况如图所示（摩擦力没 C F 有画出，因与此题无关）。 h 在竖直方向应用力平 N1 W a N2 衡方程：Nl 1?N2?W(1) 以前轮为支点，由力矩平衡方程，N2l?W(l?a)?Fh(2)
由（2）解得：N2?W(1?a/l)?Fh/l 将N2代入(1)中得：N1?Wa/l?Fh/l
令F=0，即得到无拖车时前后轮的支持力N1’和N2’。显然，有拖车时，前轮支持力减小，后轮支持力增大。
7.6.3 电梯高2.2m，其质心在中央，悬线亦在中央。另有负载50×10kg，其重心离电梯中o 垂线相距0.5m。问⑴当电梯匀速上升时，光滑
导轨对电梯的作用力，不计摩擦（电梯仅在四角
l 处受导轨作用力）；⑵当电梯以加速度0.05m/sN 2
上升时，力如何？
Mg mg 解：⑴以o为轴,据力矩平衡条件：Nl?mgb
N?mgb/l?50?10?9.8?0.5/2.2?1.114?103N
⑵设电梯的加速度为a，以电梯为参考系，负载除受重力外，还受惯性力作用f*=ma,方向向下, 据力矩平衡条件：Nl?m(g?a)b
N?m(g?a)b/l?50?10(9.8?0.05)0.5/2.2?1.119?103N
第7章刚体力学习题解答 55 第7章刚体力学习题解答
7.7.1环形框架质量为0.20kg，上面装有质量为1.20kg的回转仪，框架下端置于光滑的球形槽内，回转仪既自传又旋进，框架仅随回转仪的转动而绕铅直轴转动，回转仪自身重r z 心以及它连同框架的重心均在C点，C点与转动轴线的垂直距离为r=0.02m，回转仪绕N x C 自转轴的转动惯量为4.8×10-4kgm2,自转角
速度为120rad/s. ⑴求旋进角速度；⑵求支架
(m1+m2)g 球形槽对支架的总支承力。
解：根据旋进与自旋的关系式： ???I??(m1?m2)grI??(0.2?1.2)?9.8?0.024.8?10?4?120?4.76rad/s
把回转仪与支架当作一个系统，设球形槽对支架的支承力为N，整个装置的质心C相对竖直轴做匀速圆周运动，由质心运动定理：
Nx?(m1?m2)r??(0.2?1.2)?0.02?4.76Nz?(m1?m2)g?(0.2?1.2)?9.8?13.72NN?Nx?Nz2222?0.63N
?0.63?13.72NxNz?arctg22?13.73N0.63?2.63?
与竖直轴夹角??arctg13.73