当x?(,1]时，f1(x)?2?2x?x?x?，∴f1(x)的1阶不动点的个数为2，当x?[0,1]，4112f1(x)?2x，f2(x)?4x?x?x?0，当x?(,]，f1(x)?2x，f2(x)?2?4x?x?x?，当
4251332x?(,]，f1(x)?2?2x，f2(x)?4x?2?x?x?，当x?(,1，]f1(x)?2?2x，
24434f2(x)?4?4x?x?x?，
51223∴f2(x)的2阶不动点的个数为2，以此类推，f(x)的n阶不动点的个数是2个.
2n
仿前可知，P4＝2[f4（a504）－f4（a1）＋f4（a505）－f4（a1008）]＜2（1sin?－1sin0＋1sin?－1sinπ）
424424＝1 故P4＜1 3．A
【解析】试题分析：由已知，
a2?3?3?（2?1），a3?6?3?（3?1），a4?9?3?（4?1），a5?12?3?（5?1）?an?（3n?1），数列{an}是首项为3，公差为3的等差数列，通项为an?（； 3n?1）（n?2）所以111119999，则 ??（?）???...?anan?13(n?1)?3n9n?1na2a3a3a4a4a5a2013a2014191111112012??????）?1??．故答案为A． 2232012201320132013（1?=9??4．C
【解析】令a?b?0,f(0)?0,再令a?b?1,f(1)?f(1)?f(1)?f(1)?0,所以有f(0)= f(1)知①正确;令a?b??1,f(1)??2f(?1)?f(?1)?0,从而令a?x,b??1,f(?x)?xf(?1)?f(x)??f(x)故知f(x)为奇函数,故知②错误;对于③,由于f(2)=2,所以f(4)?f(2?2)?2f(2)?2f(2)?8;从而
f(22)f(23)1a1?f(2)?2,a2??4,a3??(4f(2)?2f(4))?8,猜想a1,a2,a3?，成等比数列且
233an?2n,用数学归纳法可证明此结论:对于n=1时，猜想显然成立；假设当n?k时，猜想正确，即f(2k)f(2k?1)2kf(2)?2f(2k)kkkak??2，从而f(2)?k?2，那么当n?k?1时，ak?1??
kk?1k?12k?2?2?k?2k??2k?1这就是说当n?k?1时猜想也成立，故an?2n，故③正确;对于④,因为
k?1
6．A
【解析】f(x)?axg(x) 可知f(x), g(x)同号由f(x)?axg(x) 得
f(x)?ax g(x)又
f(1)f(?1)5151?? 得a?? 解得a=或a=2
2a2g(1)g(?1)2f(n)11?1? 可知 是以首项为，公比为的等比数列，则前k项和为 ??22g(n)?2?nf(n)1?an= ①a=时，
2g(n)11(1?()k)2=1?(1)k 令1?(1)k>15 解得K=5 所以前五项相加和才大于15 Sk?212216161?2②a=2时，
f(n)f(n)?an=2n可知 是以首项为2公比为2 的等比数列则前k项和
g(n)g(n)2(1?2k)15k?1= 2?2 显然k=1 时2>. Sk?
161?2联立①②得概率为7．①④
1563??? .故选A 1010105【解析】由等差比数列的定义可知，等差比数列的公比不为0，所以①正确；当等差数列的公差为0即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列；当{an}是等比数列时，当公比q?1时，{an}不是等差比数列；数列0,1,0,18．①②③
【解析】对于①，根据条件，当m＞2时，有a2＝m－1＞1，a3＝m－2，于是m－2＝4，有m＝6满足条件；
是公比为?1等差比数列，该数列中有无数多个0。
115当m∈（1，2]时，有a2＝m－1∈（0，1]，则a3＝m?1，于是m?1＝4，m＝4满足条件；若m＝1，则1111an＝1恒成立，不可能有a3＝4，当m∈（0，1）时，有a2＝m＞1，a3＝m－1，于是m－1＝4，m＝5满
足条件.故①正确.
1?2?1对于②，逐个推导可得：a1＝2，a2＝2－1，a3＝2?1，a4＝2， 是周期为3的周期
数列.故②正确
1对于③，要想使得{an}是周期为T的周期数列，因为m＞1，故只需使得aT＝m，则aT＋1＝m，而m＞1，可12
使得aT＝m－（T－1），即m－（T－1）＝m，于是m－（T－1）m－1＝0，该关于m的方程两根之积为－
1，必为异号两根，而根之和为T－1≥1，故其正根m必定大于1，满足条件，故③正确； 对于④，仿照③可知，当T＝1时，m＝1不满足条件
当T∈N且T≥2时，若m为整数，则必定在若干项以后出现an＝1，之后成为常数数列，不合题意，
*
T?1?(T?1)2?4T?1?T2?2T?5?22故m为非整数，且m＝（舍负），
要使得m∈Q，则T?2T?5必为有理数（且为整数），令其为n，且T－1＋n不是偶数，否则m为整数，即T＋n是偶数，所以，T与n同奇或同偶 由T－2T＋5＝n知，T与n不能同为偶数，
当T为奇数时，T是奇数，等式左边是偶数，这与n为奇数矛盾 综上，这样的条件不可能满足.故④错误
2
2
2
2
29．①④
10．③④ 【解析】 选项①：当k?故①错误；
11n111时，an?n?()，有a1?，a2?2??，则a1?a2，即数列{an}不是递减数列，22242an?1(n?1)?kn?1k(n?1)1k(n?1)k??2k，所以数列{an}可有最选项②：当?k?1时，，因为??n2nann?kn大项，故②错误；
an?1(n?1)?kn?1k(n?1)n?11选项③：当?k?1时，????1，所以an?1?an，即数列{an}是递减
2ann?knn2n数列，故③正确；
an?1(n?1)?kn?1k11k(n?1)1?k?k?选项④：，当为正整数时，；当时，??n1?k22ann?kn