当a1?a2?a3?a4????；
1kmam(n?1)?k?1时，?m?N?，令解得k?，n?1?，数列{an}21?k1?mann(1?m)必有两项相等的最大项，故④正确. 所以正确的选项为③④.
?(m?1)2(m?2t?1,t?N*??411．（1）1,1,1,2,2,2,3；（2）50；（3）Tm??
?m(m?2)(m?2t,t?N*)??4【解析】（1）本题解题的关键是抓住新定义中“bm是数列?an?中，满足不等式an?m的所有项的项数的最大值”，正确理解题中新定义的内容，根据伴随数列的定义直接写出数列1,4,7的伴随数列；（2）对于这类问题，我们要首先应弄清楚问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时的常用方法即可解决，根据伴随数列的定义得n?1?log3mm?N*，由对数的运算对m分类讨论求出伴随数列?bn?的前20项的和；（3）数列是特殊的函数，以数列为背景是数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，由题意和an与Sn的关系，代入an?m得n?的各项，再对m分类讨论得Tm. 解： 解：（1）由伴随数列的定义得，
数列1,4,7的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3（后面加3算对） （2）由an?3n?1?m，得n?1?log3m(m?N*)
∴ 当1?m?2,m?N时，b1?b2?1 （创作：学科网“天骄工作室”）
*??m?1m?N*，求出伴随数列?bm?2??
n2?n12．（1）Sn?；（2）①t2?4，t3?13；②证明见解析．
2【解析】（1）设数列?an?的首项为a1，公差为d，利用基本量表示有关量进行求解；（2）①先根据tn?N?固定t2，再根据M22?M1?M3，验证是否存在t3符合题意；②由①的结论。先猜后证. 解：（1）设数列?an?的首项为a1，公差为d，
4?3?4a?d?10??12由S4?10，S13?91，得?，
13?12?13a?d?911??2解得??a1?1，（创作：学科网“天骄工作室”）
?d?1n(n?1)n2?nd?所以Sn?na1? 22（2）①因为M1?S1?1，
若t2?2,M2?S2?S1?3?1?2，M3?St3?S2?因为M22?M1?M3， 所以
t3?t3?1??3， 2t3?t3?1??3?4，t3?t3?1??14，此方程无整数解； 2t3?t3?1??6， 2若t2?3,M2?S3?S1?6?1?5，M3?St3?S3?因为M22?M1?M3，（创作：学科网“天骄工作室”） 所以
t3?t3?1??6?25，t3?t3?1??62，此方程无整数解； 2t3?t3?1??10， 2若t2?4,M2?S4?S1?10?1?9，M3?St3?S4?因为M22?M1?M3， 所以
t3?t3?1??10?81，t3?t3?1??182，解得t3?13， 2所以t2?4，t3?13满足题意
②由①知t1?1，t2?1?3，t3?1?3?32，则M1?1，M2?32，M3?92， 一般的取tn?1?3?3?2?3n?13n?1?，
23n?1?3n?1?3n?1?1?3n?1?1??1???1??2?2?2?2?此时Stn?，Stn?1?，
223n?1?3n?1?3n?1?1?3n?1?1??1???1??22?2?2?2????3n?1?， 则Mn＝Stn－Stn?1＝
22所以Mn为一整数平方．
因此存在数列?tn?，使得数列?Mn?中的各数均为一个整数的平方．
n2?113．（1）bn?；（2）m?2或m??1.
22n?1【解析】（1）由已知得n?1a1??nn???an?212n12????n??，所以bn?1?bn?n?，这样可以累差求出
2an2an?bn?的通项公式.
2?n?1??1cn?n?n?1?2n?2n2?2(n?1)n1n?1?11?????n?n?1?2n?2?n?1?2n?2n?2n?1?n?1?2n?2n?2n?1?12n?2?11?
n?2n?1?n?1?2n?244121??cSn可以求出n的前项和n，根据题意m?m??Sn?max，这样可以求出m的取值范围.
2n?1解：由已知得n?1a1??n?n??an?212n12????n??，所以bn?1?bn?n?，
2an2ann2?1111则b2?b1?1?2,b3?b2?2?2?bn?bn?1?(n?1)?2，叠加得bn?b1?，因为b1?1，所以
2n2?1bn?
22?n?1??1cn?n?n?1?2n?2?n2?2(n?1)n11?11?? ??????n?2n?2n?1n?2n?1n?2???n?1?2?n?1?2?n?n?1?2n?22?n?21?1??1?n?111118?2?1 S?c?c???c?????(?)?12n故nn?2n?2n?21????4n?1?222n?1?221?21211m?2或m??1 m?m?故442，所以n1114．（Ⅰ）S??；（Ⅱ）由2nSn?1?2n，得Sn?1?n，所以当n?2时，bn?Sn?Sn?1=n，又当
226n?4b1?S1?11，符合上式，所以bn?n(n?N?)，故数列{bn}是等比数列. 225. 4（Ⅲ）{xn}的最大值为x1?【解析】（Ⅰ）首先由数列{an}的通项公式，可得数列An的通项公式，然后运用裂项相消法即可求得其 前n项和；（Ⅱ）由已知2nSn?1?2n(n?N?)及公式bn?Sn?Sn?1可得，当n?2时，bn的通项公式；然
后验证当n?1时，是否满足上述通项公式，进而求出bn的通项公式即可证明结论成立； （Ⅲ）根据作差法判断数列{xn}的单调性，进而判断数列{xn}的最大值即可 解：（Ⅰ）因为an?3n?5， 所以An?1111?(?)，
(3n?5)(3n?2)33n?53n?21?1111所以S??(??1)?(1?)?(?)?3?2447?(1111??)?(?) 3n?83n?53n?53n?2??=(??1311n. )??23n?26n?4（Ⅱ）由2nSn?1?2n，得Sn?1?11b?S?S，所以当时，=， n?2nnn?12n2n11又当b1?S1?，符合上式，所以bn?n(n?N?)，
22故数列{bn}是等比数列.（创作：学科网“天骄工作室”） （Ⅲ）因为cn?3n?55，所以， x?c?c?12142nTn?1Tn?1?Tn2Tn?1Tn8?3n???cn?1?cn=n?1， 当n?2时，xn?TnTn?1TnTn?12又x1?58?3n符合上式，所以xn?n?1(n?N?)， 42因为xn?1?xn?5?3n8?3n3n?11?n?1?n?2，所以当n?3时，{xn}单调递减， 2n?222当n?4时，{xn}单调递增，但当n?4时，{xn}每一项均小于0， 所以{xn}的最大值为x1?5.（创作：学科网“天骄工作室”） 415．（1）an?2n?1，（2）(??,?3)。
由已知可得：2n?2(n?1)?nd?4?(2n?2)d，（创作：学科网“天骄工作室”） 2*所以d?n?(4?5d)?n?8?4d?0，当且仅当2?n?4，且n?N时，上式成立，
2设f(n)?d?n?(4?5d)?n?8?4d，则d?0，（（创作：学科网“天骄工作”） 作：学科网“天骄工作室”）
?f(1)?0?f(2)?0?d?0?所以????d??3，所以d的取值范围为(??,?3)。
?d??3?f(4)?0??f(5)?0