考研数学概率论辅导讲义
第二章 随机变量及其分布
第一节 基本概念
1、概念网络图
?基本事件???随机事件A??P(A)????????? ?随机变量X(?)??a?X?b??F(b)?F(a)???0?1分布??????二项分布???????离散型?泊松分布????超几何分布????????分布函数：F(x)?P(X?x)? 八大分布???几何分布????函数分布
?????均匀分布????连续型?指数分布???????正态分布??????? 1
2、重要公式和结论
（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,?)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,?， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： Xx1,x2,?,xk,?|P(X?xk)p1,p2,?,pk,?。 显然分布律应满足下列条件： pk?1?pk?0k?1,2,?（1），， （2）k?1。 （2）连续设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有 型随机变量的分布密度 ?F(x)??f(x)dx??x， 则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质： 1° f(x)?0。 2° ?????f(x)dx?1。 （3）离散与连续型随机变量的关系 P(X?x)?P(x?X?x?dx)?f(x)dx 积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X?xk)?pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 2
（4）分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 F(x)?P(X?x) 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 P(a?X?b)?F(b)?F(a) 可以得到X落入区间(a,b]的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 0?F(x)?1, ???x???； 2° F(x)是单调不减的函数，即x1?x2时，有 F(x1)?F(x2)； 3° F(??)?limF(x)?0， F(??)?limF(x)?1； x???x???4° F(x?0)?F(x)，即F(x)是右连续的； 5° P(X?x)?F(x)?F(x?0)。 对于离散型随机变量，F(x)?对于连续型随机变量，F(x)?（5）八大分布 0-1分布 二项分布 xk?xx?pk； ???f(x)dx 。 P(X=1)=p, P(X=0)=q 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,?,n。 kkn?k， 其中P(X?k)?Pn(k)?Cnpqq?1?p,0?p?1,k?0,1,2,?,n， 则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为X~B(n,p)。 k1?k当n?1时，P(X?k)?pq，k?0.1，这就是（0-1）分泊松分布 布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 设随机变量X的分布律为 P(X?k)??kk!e??，??0，k?0,1,2?， 则称随机变量X服从参数为?的泊松分布，记为X~?(?)或者P(?)。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。 超几何分布 kn?kk?0,1,2?,lCM?CN?M P(X?k)?,nl?min(M,n)CN随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。 几何分布 P(X?k)?qk?1p,k?1,2,3,?，其中p≥0，q=1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 3
均匀分布 设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f(x)在[a，b]上为常数 1，即 b?a?1a≤x≤b ,?f(x)??b?a 其他， ?0,?则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。 分布函数为 0， xb。 当a≤x1 正态分布 设随机变量X的密度函数为 2?????0为常数，?其中、则称随机变量X服从参数为?、2X~N(?,?)。 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为f(x)?1e?(x??)22?2， ???x???， f(x)具有如下性质： 1° f(x)的图形是关于x??对称的； 2° 当x??时，f(?)?12??22X~N(?,?)(t??)X的分布函数为 若?x，则12?2F(x)?edt???2??。。 为最大值； 参数??0、??1时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,1)，其密度函数记为x2 1?2?(x)?e2?，???x???， 分布函数为 2????(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 1。 2X??2如果X~N(?,?)，则~N(0,1)。 ??x????x???P(x1?X?x2)???2????1?。 ??????（6）分位下分位表：P(X???)＝?； 数 Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝上分位表：P(X???)＝?。 （7）函数分布 离散型 已知X的分布列为 ?(x)?1x?e?t22dt。 x1,x2,?,xn,?X， P(X?xi)p1,p2,?,pn,?Y?g(X)的分布列（yi?g(xi)互不相等）如下： g(x1),g(x2),?,g(xn),?Y， P(Y?yi)p1,p2,?,pn,?若有某些g(xi)相等，则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。 连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。 5