连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 二维正态分布 f(x,y)?12??1?21??2?e??x???22?(x??)(y??)?y??1?122????????????2(1??2)?122???1?1????2????, ?＝0 随机变量的函数 若X1,X2,?Xm,Xm+1,?Xn相互独立， h,g为连续函数，则： h（X1，X2,?Xm）和g（Xm+1,?Xn）相互独立。 特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 （8）二维均匀分布 ?1?S?Df(x,y)???0,??(x,y)?D 其他其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1 D1 O 1 图3.1 x y 1 D2 O 1 图3.2 2 x y d D3 c O a b x 图3.3 16
（9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 f(x,y)?12??1?21??2?e??x???22?(x??)(y??)?y??1?122???????2??????2(1??)??1?122?1????2????, 其中?1,?2,?1?0,?2?0,|?|?1是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 22记为（X，Y）～N（?1,?2,?1,?2,?). 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 22即X～N（?1,?1),Y~N(?2,?2). 22但是若X～N（?1,?1),Y~N(?2,?2)，(X，Y)未必是二维正态分布。 （10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算：FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z) ??对于连续型，fZ(z)＝???f(x,z?x)dx 22两个独立的正态分布的和仍为正态分布（?1??2,?1）。 ??2n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 ???Ci?i， ?2??Ci2?i2 iiZ=max,min(X1,X2,?Xn) 若X1,X2?Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1(x)，Fx2(x)?Fxn(x)，则Z=max,min(X1,X2,?Xn)的分布函数为： Fmax(x)?Fx1(x)?Fx2(x)?Fxn(x) Fmin(x)?1?[1?Fx1(x)]?[1?Fx2(x)]?[1?Fxn(x)] 17
?2分布 设n个随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 W??Xi2 i?1n的分布密度为 nu?1??1u2e2?n?n?f(u)??22??????2???0,u?0, u?0.我们称随机变量W服从自由度为n的?2分布，记为W～?2(n)，其中 ?n???2?1?x?????xedx. ?2?0所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 n?2分布满足可加性：设 Yi??2(ni), 则 Z??Yi~?2(n1?n2???nk). i?1kt分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 X~N(0,1),Y~?2(n), 可以证明函数 T?的概率密度为 XY/n?n?12 ?n?1????t2?2???f(t)?1?n?n??n??????2????? (???t???). 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。 t1??(n)??t?(n) 18
F分布 设X~?2(n1),Y~?2(n2)，且X与Y独立，可以证明F?X/n1的概率密度函数为 Y/n2n12n1?n22??n1?n2?????n1?2?????f(y)???n1??n2???n2?????????2??2??????y?n1?12?n1??1?y??n2????,y?0 0,y?0我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2). F1??(n1,n2)?
1 F?(n2,n1)
例3．1 二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为 Y X 1 2 3 p2j -1 0 0 1 0 0 2 0 p12 1 61 60 1 60 1 31 61 61 61 61 61 31 61 21 31 例3．2： 设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中
D?{(x,y):|x?y|?1,|x?y|?1},
求X的边缘密度fX(x)
例3．3：设随机变量X以概率1取值0，而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立。
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例3．4：如图3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x, fY(y)=4y-4y，不独立。
?Axy2,0?x?2,0?y?1例3．5：f(x,y)=?
0,其他?例3．6：设X和Y是两个相互独立的随机变量，且X～U（0，1），Y～e（1），求Z=X+Y的分
布密度函数fz(z)。
例3．7：设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为
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?1X~????0.4而Y的概率密度为e(1)，求随机变量U=
2??, ?0.6??X的概率密度g(u)。 Y?1第二节 重点考核点
二维随机变量联合分布函数、随机变量的独立性、简单函数的分布
第三节 常见题型
1、二维随机变量联合分布函数
例3．8：如下四个二元函数，哪个不能作为二维随机变量（X，Y）的分布函数？
?(1?e?x)(1?e?y),?（A）F1(x,y)???0,?（B）F2(x,y)?0?x???,0?y???,
其他.y?1??x????arctan?arctan??. ??2??23??2?2x?2y?1,
?1,?（C）F3(x,y)???0,?x?2y?1.?1?2?x?2?y?2?x?y,?（D）F4(x,y)???0,?0?x???,0?y???,
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其他.例3．9：设X与Y是两个相互独立的随机变量，它们均匀地分布在（0,l）内，试求方程2
t+Xt+Y=0有实根的概率。
例3．10：将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。
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