x2y21、如果椭圆??1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是
369x2y22、已知直线y=－x+1与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点，且线段AB的中
ab点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为
3、已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P?2,2?为AB的中点，则抛物线C的方程为 x24、已知椭圆?y2?1的左焦点为F，O为坐标原点。
2（1）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
（2）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x?y?0上，求直线AB的方程。
答案：
例3、解：假设存在直线m，设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，则
2x1?y1?222(1)(2)(3)(4)
2x2?y2?2x1?x2?2y1?y2?222
（1）－（2）得：2?x1?x2??x1?x2???y1?y2??y1?y2??0
y?y2?2 ∴4?x1?x2??2?y1?y2??0 ∴k?1x1?x2∴m的方程为：y?1?2?x?1?即y?2x?1 由
y?2x?12x?y?2222得2x2?4x?3?0 ????4??4?2?3??8?0
∴m与已知双曲线无交点，即假设不成立， ∴m不存在。
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y2x2例4、解：设所求椭圆方程为2?2?1（a＞b＞0），由a2?b2?50，得a2?b2?50，
aby2x2将3x?y?2?0与 2?2?1（a＞b＞0）联立消去y得
ab10b2?50x2?12b2x?b2b2?4b?0
????6b222?1设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则x1?x2?，解出、 b?25a?75，
5(b2?5)y2x2所求椭圆方程为 +=1。
7525
课后作业
1、x?2y?8?0
2 23、y2?4x 解：设抛物线为y2?kx，与y?x联立方程组，消去y，得：x2?kx?0，
2、x1?x2?k?2?2，故y2?4x
4、解：（1）∵a2?2，b2?1,∴c?1,F??1,0?,l:x??2 1∵圆过点O、F， ∴圆心M在直线x??上。 2131设M(?,t),则圆半径r?(?)?(?2)?。
222l13由OM?r,得(?)2?t2?,解得t??2。 2219∴所求圆的方程为(x?)2?(y?2)2?。
24（2）设直线AB的方程为y?k(x?1)(k?0),
AyBNFOxx2代入?y2?1,整理得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0
2∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根，
4k2记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),则x1?x2??2,
2k?112k2kx0?(x1?x2)??2,y0?k(x0?1)?2,
22k?12k?1Q线段AB的中点N在直线x?y?0上，
2k2k∴ x0?y0??2?2?0,
2k?12k?11∴k?0，或k?当直线AB与x轴垂直时，线段AB的中点F不在直
2线x?y?0上。
∴直线AB的方程是y?0,或x?2y?1?0.
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分类题型
类型一：三角形面积
x2y2例1：已知椭圆C:2?2?1 （a?b?0）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长
ab是短轴长的2倍. （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y?kx?1相交于两个不同的点A,B，线段AB的中点为P，若直线OP的斜率为?1，求△OAB的面积.
2222c?1,a?2ba?b?1b?1a例1：解：（Ⅰ）由题意， 又，所以，?2
所以椭圆的方程为
x2?y2?12. ………………4分
（Ⅱ）设A(0,1)，
B(x1,y1)，
P(x0,y0)，
?x2?2y2?2,?22y?kx?1(1?2k)x?4kx?0……（*）y?联立 消去得， ………………6分
解得x?0或
x??4k4kx??11?2k2，所以1?2k2，
4k1?2k22k1B(?,)P(?,)22221?2k1?2k，1?2k1?2k， ………………8分 所以
11??1k?2（满足由直线OP斜率为?1，则2k，解得（*）式判别式大于零）……10
?分
O到直线
l:y?22122x?15AB?x?(y?1)?51132的距离为，所以 ，
1222?5??53. ………13分 所以△OAB的面积为23
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练习1：已知O为平面直角坐标系的原点，过点M(?2，0)的直线l与圆x2?y2?1交于P，Q两点．
uuuruuur1（I）若OP?OQ??，求直线l的方程；
2（Ⅱ）若?OMP与?OPQ的面积相等，求直线l的斜率．
练习1：解：（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，
因为 直线l过点M(?2,0)，可设直线l：y?k(x?2)．
uuuruuur因为 P、Q两点在圆x?y?1上，所以 OP?OQ?1，
22uuuruuuruuuruuuruuuruuur11因为 OP?OQ??，所以 OP?OQ?OP?OQ?cos?POQ??
221所以 ?POQ?120? 所以 O到直线l的距离等于．
2 所以
|2k|k2?1?151， 得k??
152所以 直线l的方程为x?15y?2?0或x?15y?2?0………………6分
uuuuruuur（Ⅱ）因为?OMP与?OPQ的面积相等，所以MQ?2MP，
uuuuruuur设 P(x1,y1)，Q(x2,y2)，所以 MQ?(x2?2,y2)，MP?(x1?2,y1)．
所以 ??x2?2?2(x1?2)?x2?2(x1?1) 即? （*）；
y?2yy?2y?21?2122??x1?y1?1因为 P，Q两点在圆上，所以 ?2 2??x2?y2?17?x??，221??8?x1?y1?1? 把（*）代入，得? ，所以 ? 22??4(x1?1)?4y1?1?y??15．1?8?所以 直线l的斜率k?kMP??
1515， 即k??.…………………13分 99 19 / 46
类型二：与圆的知识结合
（I）求椭圆的方程；
（II）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若以AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程。
x2y23例2：已知椭圆2?2?1(a?b?0)的长轴为4，且点(1,)在该椭圆上。
ab2x2y2?2?1． 例2：解：（Ⅰ）由题意：2a?4，a?2．所求椭圆方程为
4b3x2)在椭圆上，可得b?1．所求椭圆方程为?y2?1． …5分 又点(1,24（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2?4,b2?1，所以c?3，椭圆右焦点为(3,0)．
uuuruuur因为以AB为直径的圆过原点，所以OA?OB?0．
若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x?3．
uuuruuur111 直线AB交椭圆于(3,),(3,?)两点， OA?OB?3??0，不合题意．
224若直线AB的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为y?k(x?3)．
??y?k(x?3),由?可得(1?4k2)x2?83k2x?12k2?4?0．
22??x?4y?4?0,由于直线AB过椭圆右焦点，可知??0．
83k212k2?4,x1x2?设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2?， 221?4k1?4k?k2y1y2?k(x1?3)(x2?3)?k[x1x2?3(x1?x2)?3]?． 21?4k22uuuruuur12k2?4?k211k2?4?()?所以OA?OB?x1x2?y1y2?． 2221?4k1?4k1?4kuuuruuur421111k2?42k?,k???0由OA?OB?0，即，可得．
11111?4k2所以直线l方程为y??
练习2：已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y?kx?m?k?0?与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不
211(x?3)． ………………14分 11 20 / 46