时间序列模型
一、分类
①按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序列。
②按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。 ③按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序列。
狭义时间序列：如果一个时间序列的概率分布与时间t 无关。
广义时间序列：如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻t 满足均值为常数和协方差为时间间隔τ的函数。（下文主要研究的是广义时间序列）。
④按时间序列的分布规律来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。
二、确定性时间序列分析方法概述
时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势的。一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合。 ①长期趋势变动：它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。通常用Tt表示。 ②季节变动：通常用St 表示。
③循环变动：通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。通常用Ct表示。
④不规则变动。通常它分为突然变动和随机变动。通常用Rt表示。也称随机干扰项。
常见的时间序列模型：
⑴加法模型：yt=St+Tt+Ct+Rt； ⑵乘法模型：yt=St·Tt·Ct·Rt；
⑶混合模型：yt=St·Tt+Rt；yt=St+Tt·Ct·Rt；Rt2
这三个模型中yt表示观测目标的观测记录，E Rt =0,E Rt2 =σ2
如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差σ2较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测。
三、移动平均法
当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。 移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。 3.1、简单移动平均法
当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可用一次简单移动平均方法建立预测模型：
其预测目标的标准差为：
当然我们还可以得到如下递推关系：
N的选取方式:
①一般N 取值范围：5 ≤ N ≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的取值应较大一些。否则N 的取值应小一些。
②选择不同的N比较若干模型的预测误差，预测标准误差最小者为最好。
3.2、加权移动平均法
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就是加权移动平均法的基本思想。
其中wi为yt?i+1权数，体现了相应的yt在加权平均数中的重要性。
在加权移动平均法中，的选择，????同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预测者对序列的了解和分析来确定。 3.3、趋势移动平均法
简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。 一次移动的平均数为
二次移动的平均数为
下面讨论如何利用移动平均的滞后偏差建立直线趋势预测模型:
设时间序列{yt} 从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期也按此直线趋势变化，则可设此直线趋势预测模型为
其中 t 为当前时期数；T 为由t 至预测期的时期数；at为截距，bt为系数，两者均称为平滑系数。 可以推算出：
趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。
四、指数平滑法
一次移动平均实际上认为最近N 期数据对未来值影响相同，都加权；而N 期以前的
??
1
1
数据对未来值没有影响，加权为0。但是，二次及更高次移动平均数的权数却不是，且次
??
数越高，权数的结构越复杂，但永远保持对称的权数，即两端项权数小，中间项权数大，不符合一般系统的动态性。一般说来历史数据对未来值的影响是随时间间隔的增长而递减的。所以，更切合实际的方法应是对各期观测值依时间顺序进行加权平均作为预测值。指数平滑法可满足这一要求，而且具有简单的递推形式。 指数平滑法根据平滑次数的不同，又分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等，分别介绍如下：
4.1、一次指数平滑法
其中α为加权系数。 预测模型为：
即
也就是以第t期指数平滑值作为t +1期预测值。
如何选择加权系数α?
具体如何选择一般可遵循下列原则：
①如果时间序列波动不大，比较平稳，则α 应取小一点，如（0.1～0.5）。以减少修正幅度，使预测模型能包含较长时间序列的信息；
②如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则α 应取大一点，如（0.6～0.8）。使预测模型灵敏度高一些，以便迅速跟上数据的变化。
③在实用上，类似移动平均法，多取几个α 值进行试算，看哪个预测误差小，就采用哪个。 如何确定初值S0(1)？
具体如何选择一般可遵循下列原则：
①当时间序列的数据较多，比如在20 个以上时，初始值对以后的预测值影响很少，可选用第一期数据为初始值。
②如果时间序列的数据较少，在20个以下时，初始值对以后的预测值影响很大，这时，就必须认真研究如何正确确定初始值。一般以最初几期实际值的平均值作为初始值。
4.2、二次指数平滑法
当时间序列的变动出现直线趋势时，采用二次指数平滑法
其中St为一次指数的平滑值；St 为二次指数的平滑值。当时间序列{yt},从某时期开始具有直线趋势时，类似趋势移动平均法，可用直线趋势模型:
(1)
(2)
进行预测。
4.3、三次指数平滑法
当时间序列的变动表现为二次曲线趋势时，则需要用三次指数平滑法。三次指数平滑是在二次指数平滑的基础上，再进行一次平滑，其计算公式为
式中St(3)为三次指数平滑值
三次指数平滑法的预测模型为：
其中：
选择α值的一些基本准则:
指数平滑预测模型是以时刻t为起点，综合历史序列的信息，对未来进行预测的。选择合适的加权系数α是提高预测精度的关键环节。根据实践经验，α的取值范围一般以0.1～0.3为宜。α值愈大，加权系数序列衰减速度愈快，所以实际上α取值大小起着控制参加平均的历史数据的个数的作用。α值愈大意味着采用的数据愈少。
（1）如果序列的基本趋势比较稳，预测偏差由随机因素造成，则α值应取小一些，以减少修正幅度，使预测模型能包含更多历史数据的信息。
（2）如果预测目标的基本趋势已发生系统地变化，则α值应取得大一些。这样，可以偏重新数据的信息对原模型进行大幅度修正，以使预测模型适应预测目标的新变化。 如何确定初值？
初始值可以取前3～5个数据的算术平均值作为初始值。
五、差分指数平滑法 当时间序列的变动具有直线趋势时，用一次指数平滑法会出现滞后偏差，其原因在于数据不满足模型要求。因此，我们也可以从数据变换的角度来考虑改进措施，即在运用指数平滑法以前先对数据作一些技术上的处理，使之能适合于一次指数平滑模型，以后再对输出结果作技术上的返回处理，使之恢复为原变量的形态。差分方法是改变数据变动趋势的简易方法。
5.1、一阶差分指数平滑法
当时间序列呈直线增加时，可运用一阶差分指数平滑模型来预测。