其中的?为差分记号。第一个式子表示对呈现直线增加的序列作一阶差分，构成一个平 稳的新序列，第二个式子表示把经过一阶差分后的新序列的指数平滑预测值与变量当前的 实际值迭加，作为变量下一期的预测值。 指数平滑值实际上是一种加权平均数。因此把序列中逐期增量的加权平均数（指数平滑值）加上当前值的实际数进行预测，比一次指数平滑法只用变量以往取值的加权平均数作为下一期的预测更合理。从而使预测值始终围绕实际值上下波动，从根本上解决了在有直线增长趋势的情况下，用一次指数平滑法所得出的结果始终落后于实际值的问题。 5.2 二阶差分指数平滑模型
当时间序列呈现二次曲线增长时，可用二阶差分指数平滑模型来预测，计算公式如下：
其中?2表示二阶差分。 差分方法和指数平滑法的联合运用，除了能克服一次指数平滑法的滞后偏差之外，对初始值的问题也有显著的改进。因为数据经过差分处理后，所产生的新序列基本上是平稳的。这时，初始值取新序列的第一期数据对于未来预测值不会有多大影响。其次，它拓展了指数平滑法的适用范围，使一些原来需要运用配合直线趋势模型处理的情况可用这种组合模型来取代。但是，对于指数平滑法存在的加权系数α的选择问题，以及只能逐期预测问题，差分指数平滑模型也没有改进。 六、自适应滤波法
6.1、自适应滤波法的基本过程 自适应滤波法与移动平均法、指数平滑法一样，也是以时间序列的历史观测值进行某种加权平均来预测的，它要寻找一组“最佳”的权数，其办法是先用一组给定的权数来计算一个预测值，然后计算预测误差，再根据预测误差调整权数以减少误差。这样反进行，直至找出一组“最佳”权数，使误差减少到最低限度。由于这种调整权数的过程与通讯工程中的传输噪声过滤过程极为接近，故称为自适应滤波法。 自适应滤波法的基本预测公式为：
其中
为第t+1期的预测值，wi为第t-i+1期的观测值权数，yt?i+1 为第期的观测值，N为
权数的个数。其调整权数的公式为:
式中??=1，2，? ，t=N,N+1,?n,n为序列数据的个数，wi为调整前的第i个权数，
为
调整后的第i个权数，k为学习常数，ei+1为第t+1期的预测误差。 该式表明调整后的一组权数应等于旧的一组权数加上误差调整项，这个调整项包括预测误差、原观测值和学习常数等三个因素。学习常数k的大小决定权数调整的速度。 6.2 N, k值和初始权数的确定 在开始调整权数时，首先要确定权数个数N和学习常数k。一般说来，当时间序列的观测值呈季节变动时，N应取季节性长度值。如序列以一年为周期进行季节变动时，若数据是月度的，则取 N=12，若季节是季度的，则取N=4。如果时间序列无明显的周期变动，则可用自相关系数法来确定，即取N为最高自相关系数的滞后时期。k的取值一般可定为 1/N，也可以用不同的k值来进行计算，以确定一个能使S最小的k值。初始权数的确定也很重要，如无其它依据，也可用 1/N作为初始权系数用。 自适应滤波法有两个明显的优点：一是技术比较简单，可根据预测意图来选择权数的个数和学习常数，以控制预测。也可以由计算机自动选定。二是它使用了全部历史数据来寻求最佳权系数，并随数据轨迹的变化而不断更新权数，从而不断改进预测。由于自适应滤波法的预测模型简单，又可以在计算机上对数据进行处理，所以这种预测方法应用较为广泛。 七、趋势外推预测方法 趋势外推法是根据事物的历史和现时资料，寻求事物发展规律，从而推测出事物未来状况的一种比较常用的预测方法。利用趋势外推法进行预测，主要包括六个阶段： （a）选择应预测的参数；（b）收集必要的数据；（c）利用数据拟合曲线；（d）趋势外推；（e）预测说明；（f）研究预测结果在进行决策中应用的可能性。
趋势外推法常用的典型数学模型有：指数曲线、修正指数曲线、生长曲线、包络曲线等。 7.1、指数曲线 一般来说，技术的进步和生产的增长，在其未达饱和之前的新生时期是遵循指数曲线增长规律的，因此可以用指数曲线对发展中的事物进行预测。 指数曲线的数学模型为： y=y0eKt
其中系数y0和K值由历史数据利用回归方法求得。
对该式取对数得lny=lny0+Kt，令 Y=lny，A=lny0，则Y=A+Kt。可利用最小二乘法求得A和K。
7.2、修正指数曲线法 利用指数曲线外推来进行预测时，存在着预测值随着时间的推移会无限增大的情况。这是不符合客观规律的。因为任何事物的发展都是有一定限度的。例如某种畅销产品，在其占有市场的初期是呈指数曲线增长的，但随着产品销售量的增加，产品总量接近于社会饱和量时。这时的预测模型应改用修正指数曲线。
在此数学模型中有三个参数 a，b，K要用历史数据来确定。 修正指数曲线用于描述这样一类现象：
（1）、初期增长迅速，随后增长率逐渐降低。 （2）、当K>0,??<0,0
当K值可预先确定时，采用最小二乘法确定模型中的参数。而当K值不能预先确定时，应采用三和法。 把时间序列的n个观察值等分为三部分，每部分有m期，即 m=3n 第一部分：y1，y2，?，ym；
第二部分：ym+1，ym+2，?，y2m； 第三部分：y2m+1，y2m+2，?，y3m；
则：
是否适应修正指数曲线？
检验方法是看给定数据的逐期增长量的比率是否接近某一常数b。即
yt+1?yt
≈b
yt?yt?17.3、Compertz曲线
曲线的一般形式
Compertz曲线用于描述这样一类现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快。当达到一定程度后，增长率又逐渐下降。 参数估计方法如下： 对上式取对数得：
记则
仿照修正指数曲线的三和法估计参数，令
其中则系数为
是否适应Compertz曲线？
检验方法是看给定数据的对数逐期增长量的比率是否接近某一常数b
lnyt+1?lnyt
≈b
lnyt?lnyt?1
7.4、Logistic曲线（生长曲线） 生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在三个阶段生物的生长速度是不一样的，例如南瓜的重量增长速度，在第一阶段增长的较慢，在发展时期则突然加快，而到了成熟期又趋减慢，形成一条S形曲线，这就是有名的Logistic曲线（生长曲线），很多事物，如技
术和产品发展进程都有类似的发展过程，因此Logistic曲线在预测中有相当广泛的应用。 Logistic曲线的一般数学模型是
式中y为预测值，L为y的极限值，r为增长率常数， r>0 Logistic曲线的一般形式为
对上式做变换
得
仿照修正指数曲线的三和法估计参数，令
则各个系数为：
7.5 趋势线的选择
趋势线的选择有以下几种方式。 1．由散点图选择趋势线。
2．由数据本身的取值规律选择趋势线。 3．比较预测标准误差大小