当有几种趋势线可供选择时，应选择S最小的趋势线。 八、平稳时间序列模型 这里的平稳是指宽平稳，其特性是序列的统计特性不随时间的平移而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化。 8.1、一般自回归模型AR(n) 假设时间序列Xt仅与Xt?1,Xt?2,?,Xt?n有线性关系，而在Xt?1,Xt?2,?,Xt?n已知条件下，Xt与Xt?i无关， i=n+1,n+2,? 。 at是一个独立于Xt?1,Xt?2,?,Xt?n的白噪声序列，at~N(0,σ2)。 Xt=φ1Xt?1+φ2Xt?2+?+φnXt?n+at 上式也可以表示为：at=Xt?φ1Xt?1?φ2Xt?2???φnXt?n 可见AR(n)系统响应Xt具有n阶动态性。AR n 通过把Xt中依赖于Xt?1、Xt?2、Xt?n的部分消除掉之后，使得具有n阶动态性的序列Xt转化为独立的序列at。因此，AR(n)拟合模型的过程也就是使相关序列独立化的过程。 8.2、移动平均模型MA(m)
AR(n)系统的特征是系统在t时刻的响应Xt仅与其以前时刻的响应Xt?1,Xt?2,?,Xt?n有关，而与其以前时刻进入系统的扰动无关。如果一个系统在t时刻的响应 t X，与其以前时刻的响应Xt?1,Xt?2,?,Xt?n无关，而与其以前时刻进入系统的扰动at?1,at?2,?,at?m存在着一定的相关关系，那么，这一类系统为系统MA(m)。
Xt=at?θ1at?1?θ2at?2???θnat?m
8.3、自回归移动平均模型 一个系统，如果它在时刻t的响应Xt，不仅与其以前时刻的自身值有关，而且还与其以前时刻进入系统的扰动存在一定的依存关系，那么，这个系统就是自回归移动平均系统。 ARMA(n,m)模型为
Xt?φ1Xt?1?φ2Xt?2???φnXt?n=at?θ1at?1?θ2at?2???θnat?m
对于平稳系统来说，由于AR(n)、MA(m)、ARMA n,m 模型都是ARMA(n,n?1)模 型的特例，我们以ARMA(n,n?1)模型为一般形式来建立时序模型。
九、ARMA模型的特征 在时间序列的时域分析中，线性差分方程是极为有效的工具。事实上，任何一个ARMA模型都是一个线性差分方程。 9.1、AR(1)系统的格林函数
格林函数就是描述系统记忆扰动程度的函数。 AR(1)模型为：Xt?φ1Xt?n=at 设Xt?1=y t ，则有
y t+1 ?φ1y t =at
显然这是一个一阶非齐次差分方程，依次递推下去得：
∞
Xt= φ1jat?j
j=0
上式就是格林函数的解。方程解的系数函数φ1j客观地描述了该系统的动态性，故这个系统函数就叫做记忆函数，也叫格林函数。不妨另Gj=φ1j，显然G0=φ10=1。
定义后移算子B，BXt=Xt?1，B2Xt=Xt?2，?，这样AR(1)可写成
1?φ1B Xt=at 解为：
∞
Xt= Gjat?j
j=0
由于格林函数就是差分方程解的系数函数，格林函数的意义可概括如下：
（1）Gj是前j个时间单位以前进入系统的扰动 at?j对系统现在行为（响应）影响的权数。 （2）Gj客观地刻画了系统动态响应衰减的快慢程度。
（3）对于一个平稳系统来说，在某一时刻由于受到进入系统的扰动at的作用，离开其平衡位置（即平均数－零）， Gj描述系统回到平衡位置的速度，φ1的值较小，速度较快；φ1的值较大，回复的速度就较慢。
9.2、ARMA(2,1)系统的格林函数
9.2.1、ARMA(2,1)系统的格林函数的隐式 ARMA(2,1)模型是一个二阶非齐次差分方程
它的解为：
若采用B算子
同时我们也可以得到:
9.2.2、ARMA(2,1)系统的格林函数的显式 ARMA(2,1)模型是一个二阶非齐次差分方程
该齐次方程得到的特征方程为:
其特征根为：
该齐次方程的通解为：
系数C1,C2也可以求得,最终得到结果为：
9.3、逆函数和可逆性 前面的格林函数，把Xt表示为过去at对Xt的影响，或者说系统对过去at的记忆性，也就是用一个MA模型来逼近Xt的行为。平稳序列Xt的这种表达形式称为Xt的“传递形式”。同样我们也可以用过去的Xt的一个线性组合来逼近系统现在时刻的行为。即
我们把这种表达形式称为Xt的“逆转形式”。其中的系数函数Ij(I0=1)称为逆函数，可
见它是一个无穷阶的自回归模型。一个过程是否具有逆转形式，也就是说逆函数是否存在的性质，通常称为过程是否具有可逆性，如果一个过程可以用一个无限阶的自回归模型逼近，即逆函数存在，我们就称该过程具有可逆性，否则，就是不可逆的。
对于AR(2)模型
有
可见，所谓可逆性，是指移动平均模型可以用AR模型表示。 MA(1)模型：
那么:
即
可见，Ij=?θ1j，显然，只有 θ1 <1时，才有j→∞,Ij→0,故MA(1)的可逆性条件 为 θ1 <1
十、时间序列建模的基本步骤