习题四
4-1 观察者A测得与他相对静止的Oxy平面上一个圆的面积是12 cm，另一观察者B相对于A以 0.8 c (c为真空中光速)平行于Oxy平面作匀速直线运动，B测得这一图形为一椭圆，其面积是多少？
分析：本题考察的是长度收缩效应。
解：由于B相对于A以v?0.8c匀速运动，因此B观测此图形时与v平行方向上的线度将收
2缩为2R1?(v/c)?2b，即是椭圆的短轴.
2
而与v垂直方向上的线度不变，仍为2R ? 2 a，即是椭圆的长轴. 所以测得的面积为(椭圆形面积)
2222
S??ab??R1?(v/c)?R??R1?(v/c)=7.2cm
4-2 长度为1m的米尺L静止于K'中，与x轴的夹角?'?30?,K'系相对K系沿x轴运动，在K系中观察得到的米尺与x轴的夹角为??45?，试求：（1）K'系相对K系的速度是多少？（2）K系中测得的米尺的长度？
分析：本题考察的是长度收缩效应。根据两个参考系下米尺的不同长度再结合长度收缩效应我们可以很方便的得到两个参考系之间的相对速度
解：（1）米尺相对S'系静止，它在x'和y'轴的投影分别为：
Lx'?L0cos?'?0.866mLy'?L0sin?'?0.5m
米尺相对S系沿x方向运动，设运动速度为v，为S系中的观察者，米尺在x方向将产生长度收缩，而y方向的长度不变，即
v2Lx?Lx'1?2 cLy?Ly'
故米尺与x轴的夹角满足
tg??LyLx?Ly'Lx'1?vc22
将?与Lx'、Ly'的值代入可得：
v?0.816c
（2）在S系中测得米尺的长度为：
L?Lysin45??0.707(m)
?84-3 已知x介子在其静止系中的半衰期为1.8?10s。今有一束?介子以??0.8c的速度
离开加速器，试问，从实验室参考系看来，当?介子衰变一半时飞越了多长的距离？ 分析：本题考察的是时间膨胀效应。根据静止系中的半衰期加上时间膨胀效应我们可以求出在实验室参考系中的半衰期，然后根据该半衰期求出飞行距离。
解：在?介子的静止系中，半衰期?t0?1.8?10?8s是本征时间。由时间膨胀效应，实验室
参系中的观察者测得的同一过程所经历的时间为：
?t??t01?v2c2?3?10?8(s)
因而飞行距离为：
d?v?t?7.2m
4-4 在某惯性系K中，两事件发生在同一地点而时间相隔为4s。已知在另一惯性系K'中，该两事件的时间间隔为6s，试问它们的空间间隔是多少？
分析：本题考察的是时间膨胀效应以及洛伦兹变换。根据时间膨胀效应我们可以求出两参考系的相对速度，继而根据洛伦兹变换演化出空间间隔变换的公式求出该两事件在S系中的空间间隔。
解：在k系中，?t0?4s为本征时间，在K'系中的时间间隔为?t?6s 两者的关系为：
?t??t01?v2?c2?t01??2
5??2?
9故两惯性系的相对速度为：
v??c?5?108(m/s)
由洛伦兹变换，K'系中两事件的空间间隔为：
?xk??11??v?t01??22(?xk?v?t0)
两件事在K系中发生在同一地点，因此有?xk?0，故
?xk???65?108(m)
4-5 惯性系K'相对另一惯性系K沿x轴作匀速运动，取两坐标原点重合的时刻作为计时起点。在K系中测得两事件的时空坐标分别为x1?6?104m,t1?2?10?4s以及
（1）K'系相x2?12?104m,t2?1?10?4s，已知在K'系中测得该两事件同时发生。试问：对K系的速度是多少？（2）K'系中测得的两事件的空间间隔是多少？
分析：本题所考察的是洛伦兹变换的应用问题。根据洛伦兹变换在不同参考系下两个事件的时间变换关系，我们可以很方便的得到两个参考系之间的相对速度。有了相对速度以后，再根据洛伦兹变换的空间变换关系，我们可以得到两事件的空间间隔。
解：（1）设S'系相对S系的速度为v，由洛伦兹变换，S'系中测得两事件的时间为：
t1'?11?v12v1?2c2v??t?x?121?c??v??t?x?222?c??
t2'?c2由题意，
t1'?t2'?0
?t2?t1?因此有
v(x2?x1) 2cv?c2t2?t1c????1.5?108(m)
sx2?x12其中负号表示S'系沿S系的?x方向运动。
（2）由洛伦兹变换，S'系中测得的两事件的空间位置为：
x1'?11?v11?v22(x1?vt1)c2(x2?vt2)c2
x2'?故空间间隔为：
x2'?x1'?11?v2?(x2?x1)?v(t2?t1)??5.2?104(m)
c24-6 （1）火箭A和B分别以0.8c和0.5c的速度相对于地球向?x和?x方向飞行，试求由火箭B测得的A的速度。（2）若火箭A相对地球以0.8c的速度向?y方向运动，火箭B的速度不变，试问A相对B的速度是多少？
分析：本题考察的是洛伦兹速度变换。在火箭B为静止的参考系中，先求出地面参考系相对此参考系的运动速度（此即为两个参考系之间的相对速度），然后由火箭A相对地面的运动速度以及洛伦兹速度变换公式求出火箭A相对火箭B的速度。
解：（1）设火箭B的静止系为S，则地面参考系相对S的运动速度为u?0.5c。在地面参考系中，火箭A的运动速度为v'?0.8c，由洛伦兹速度变换公式可得火箭A相对火箭B的运动速度为：
v?v'?u0.8c?0.5c1.3??c?0.93c 21?uv'/c1?0.8?0.51.4（2）由于S系相对地面参考系以u1??u沿?x方向飞行，而在地面参考系中火箭A的运动速度为vx?0,vy?0.8c,vz?0。则根据洛伦兹速度变换公式在S系中火箭A的运动速度为：
v'x?vx?u1?0.5cu11?2vxcvy1?1?u12c2?0.7c
v'y?u1vxc2u12v'z?vz1?1?u1vxv2c2?0所以火箭A相对火箭B的速度为：
22v'?v'2x?v'y?v'z?0.86c
4-7 静止在K系中的观察者测得一光子沿与x 轴成60°角的方向飞行，另一观察者静止于K'系中，K'系相对K系为0.6c的速度沿x轴方向运动，试问K'系中的观察者测得的光子运动方向是怎样的？
分析：本题考察的是洛伦兹速度变换。根据两个参考系的相对速度以及光子在K系的速度，由洛伦速度变换可以求出光子在S系中的运动速度。
解：已知K'系相对K系的速度为u?0.6c，光子速度为c，在K系中的运动方向为与x轴成60°角，因此该光子在K系中的速度为vx?0.5c,vy?3c/2,vz?0。所以在K'系中光子的运动速度为：
v'x?vx?u1??cu71?2vxcvy1?u2v'y?c2?43c u71?2vxc2uvxc2令该光子在K'系中的运动方向与X轴成?角，则有：
1?v'z?vz1?uc2?0tg??v'yv'x??43 ???98.2?
4-8 ?子的静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命?0?2?10?8s，若它在实验室参考系中的平均寿命??7?10s，试问其质量是电子静止质量的多少倍？ 分析：本题考察的是时间膨胀效应和相对论质量问题。根据时间膨胀效应我们可以求出该粒子在实验室参考系中的运动速度，然后根据该速度可以求出速度下的相对论质量。
?8解：设?子在实验室参考系中的速度为u、质量为m，依题意有：
???01?u2 c2将?和?0的值代入得：
?02?
c2?7当?子速度为u时其质量为：
1?u2?m?m02u1?c277?m0??207me?724.5me 224-9 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之多少？ 分析：本题涉及的是相对论质量和长度以收缩问题。根据质量与静止质量之比可以求出该物体的运动速度，然后根据速度可以求出该物体在运动速度方向上的长度收缩。
解：设物体速度为u、质量为m、长度为L，静止质量和长度分别为m0和L0，依题意有：
m?m01?u22?1.1m0c2?m01?m1.1?1L0?90.9%L0 1.1
?1?uc2因此，根据长度收缩效应有：
L?L01?u2c2所以在运动方向上缩短了：
?L?9.1%L0
4-10 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电位差才能使其质量增加0.4%？此时电子速度是多少？（电子的静能为0.511MeV.）
分析：此题考察的是相对论质量与速度之间的关系。根据相对论质量公式可以很方便的求出电子的运动速度，再根据能量守恒，求出加速所需的电位差。
解：设电子速度为u、质量为m，静止质量为m0，所加的电位差为U。依题意有：
m?m01?u2?1.04m0 c2所以此时电子的速度为：
u?0.275c
根据能量守恒，有：
m0c2?eU?mc2 ?U?2.044?104(V)
4-11 已知一粒子的动能等于其静止能量的n倍，试求该粒子的速率。