图 1.13 六角晶胞
dhkl?也即
2?2??????Khklha?kb?lc2?hk??kb??lc?2.
1dhkl2?14?2?2?2???????[ha?kb?lc?2hk(a?b)?2kl(b?c)?2hl(a?c)]. 2222由图1.13可得六角晶胞的体积
??c?a(a?b)?a2csin??a2csin120??32ac. 2倒格基矢的模
a??b??a??2?c??c??2?b?c??2?acsin??32ac?2?4?3a,?a?b??2?a?2?sin?32a2c??2?.c
倒格基矢的点积
4?24?2a?b?2[?b?c???c?a?]?2?c?[a??b?c?]}??4?2?2??b?c??c?a???b?a??c?c?? ?4?2a2c28?2?cos?cos??cos???2.?2?3a??其中利用了矢量混合的循环关系
A??B?C??B??C?A??C??A?B? 及关系式
A??B?C??B?A?C??C?A?B?. 因为?a?b? 矢量平行于 c 所以
4?2a?c?2??b?c???a?b???0,? 24?b??c??2??c?a???a?b???0.???将以上诸式代入（1）式得
4(h2?k2?hk)l2d?2hkl?3a2?c2, 即
d4h2?k2?hkhkl=[3(a2)?(lc)2]?12 （4）单斜晶系晶胞基矢长度及晶胞基矢间的夹角分别满足a?b?c????90?,??90? 晶胞体积
??b?(c?a)?abscin? 由
a??2??b?c??
b??2??c?a?? c??2??a?b?? 得其倒格子基矢长度
a??a??2?bcabcsin??2?asin?,
及 b??b??2?b c??c??2?acsin?
倒格基矢间的点积
??a??4?2c?2?a?b???b?c?
=4?2 ?2??a?b??b?c???a?c??b?b??
=4?2ab2c(cos?cos??cos?)abcsin2? 和
因为(c?a)矢量平行于b所以
a?b???4?2?2??b?c???c?a???0
4?2b?c?2??c?a???a?b??
???将以上诸式代入
112?22?222??ha?kb?lc?2hka?a?b??2klb??c??2hla??c? 2dhkl4?????????得到
1h2k2l22hlco?s 2?2 ???22222dhklasin?bcsin?acsin?1 =2sin?即 dhkl?1??2?sin?2?h2l22hl?k2??a2?c2?ac???b2 ??22?12?hl2hlco?s?k????a2?c2???b2?ac???
10．求晶格常数为 a的面心立方和体立方晶体晶面族?h1h2h3? 的面间距 [解答]
面心立方正格子的原胞基矢为
aa1??j?k?
2aa2??k?i?
2aa3??i?j?
2由 b1?2??a2?a3?2??a3?a1?2??a1?a2?,b2?,b3?,
???可得其倒格基矢为 2???i?j?k?, b1?a2??i?j?k?, b2?a2??i?j?k?, b3?a倒格矢
Kh?h1b1?h2b2?h3b3. 根据《固体物理教程》（1。16）式 dh1h2h3?2?, Kh得面心立方晶体面族 ?h1h2h3? 的面间距 dh1h2h3? =
2? Kh???h?h1a?h3???h1?h2?h3???h1?h2?h3?222122?
体心立方正格子原胞基矢可取为
aa1???i?j?k?
2aa2??i?j?k?
2aa3??i?j?k?
2其倒格子基矢为
2??j?k? b1?a2??k?i? b2?a2??i?j? b3?a则晶面族?h1h2h3?的面间距为 dh1h2h3?2?a?Kh?h2?h3?2??h3?h1?2??h1?h2?2??12
11．试找出体心立方和面心立方结构中，格点最密的面和最密的线。
[解答]
由上题可知，体心立方晶系原胞坐标系中的晶面族 ?h1h2h3? 的面间距 dh1h2h3?a?h2?h3?2??h3?h1???h1?h2?22
?，将该晶面指数代入《固体物理教程》可以看出，面间距最大的晶面族就是?001110? 面间距最大的晶面上的格点（1.32）式，得到该晶面族对应的密勒指数为?最密，所以密勒指数 ?110? 晶面族是格点最密的面，格点最密的线一定分布在格点最密的面上，由图1.14虚线标出的(110)晶面容易算出，最密的线上格点的周期为
图 1.14 体心立方晶胞
3a 2由上题还知，面心立方晶系原胞坐标系中的晶面族?h1h2h3? 的面间距
dh1h2h3?a??h1?h2?h3?2??h1?h2?h3???h1?h2?h3?22
?。由本章第15题可知，对于面心立方晶可以看出，面间距最大的晶面族是?111体，晶面指数 ?h1h2h3? 与晶面指数(hkl)的转换关系为
?hkl??1???h1?h2?h3??h1?h2?h3??h1?h2?h3??,
p? 代入上式，得到该晶面族对应的密勒指数也为?111?.面间距最将晶面指数 ?111?晶面族是格点最密的面,格点最密的线大晶面上的格点最密，所以密勒指数?111一定分布在格点最密的面上,由图1.15虚线标出的(111) 晶面上的格点容易算出,
最密的线上格点的周期为
2a 2
图1.15面心立方晶胞