a??a1?a2?a3 b?a1?a2?a3
c?a1?a2?a3可得
Rhkl?ha?kb?lc???h?k?l?a1??h?k?l?a2??h?k?l?a3
=pRl1l2l3
其中 p 是??h?k?l?,?h?k?l?,?h?k?l?公约数，由立方晶体的 Rhkl?ha?kb?lc?a 可得
sin?m??h2?k2?l2
?mp?ah?k?l?222?
24．在 20?C 时铜粉末样品的一级衍射角是 47.75? 在 1000?C 时 是46.60? ， 求铜的线胀系数。
[解答]
设铜的衍射面指数为 （hkl） 在 20?C 时的面间距为 dhkl, 在 1000?C时的
'面间距为dhkl 则由布拉格反射公式得
2dhklsin47.75???
'sin46.60??? 2dhkl由以上两式得
'dhklsin47.75???1.019. ?dhklsin46.60铜的线膨胀系数
'?dhkl?1?5?? ????1??1.94?10???980Cdhkl?1000?20?C??dhkl??d'hkl?dhkl??C.
25．若 X 射线沿简立方晶胞的 OZ 轴负方向入射，求证：当
?2ll2?k2?或cos??2 时一级衍射线在YZ平面内，其中 ? 是衍射光线222ak?ll?k与 OZ 轴的夹角。 [解答]
（1） 解法一
由布拉格反射公式
2dhklsin???
和立方晶系晶面族（hkl）的面间距 dahkl?h2?k2?l2
得到 sin???2ah2?k2?l2.
将已知条件代入上式得
sin??l2k2?l2h?k2?l2. 由已知条件可画出 X光入射波矢 k0与反射矢k 的关系图，由图关系
图1.20 k0与反射波矢k的关系图
可知 ???2??2.
于是有
sin??cos?l2?k2?l2h2?k2?l2.
利用
cos?1?co?s2?2 得到
co?sl2??lk2?l2k2?l2h2?k2?l2. 由上式可知 h?0 于是
1.20中和几何 k- kK=kb??lc??k2?0=ay??l2?az?. 其中 y? 和 z? 分别是x 轴和y轴方向的单位矢量，于是
k= k2?0+kay??l2?az? 由于 k0 在YZ 平面内，所以一级衍射线也在YZ 平面内。 （2） 解法二
设x?,y?,z?分别是平行于 a，b，c 轴的单位矢量，衍射波矢 k 与 a，b，c夹角分别为?,?,?则有
k=2???????cos?x?cos?y?cos?z????, k0= ?2??z?.
由1级衍射条件得
k- k=K=ha??kb??lc??2?????????cos?x?cos?y?cos?z?z?0??.
a?K?h2??a2??cos?,于是b?K?k2??a2??cos? c?K?l2??a2??cos(??1).由以上三式解得
cos??h?a,cos??k?l?a,cos??a?1.
由 co2s??co2s??co2s??1 得到 ?2la?h2?k2?l2.
将上式与已知条件?2la?k2?l2
比较得到 h=0. 于是
轴的 ?h2??2?ha?x?co?sx?0,a? ??2?k?(co?sy?co?sz)??上式说明一级衍射线在 YZ平面内
26．一维原子链是由A,B 两种原子构成，设 A,B原子散射因子分别为fA 和fb 入射X射线垂直于原子链，证明
（1）衍射极大条件是acos??n?, a是晶格常数 ,?是衍射束与原子链的夹角. （2）当 n 为奇数，衍射强度比例于fA?fB. （3）讨论 fA?fB 情况
[解答]
（1） 如图1.12所示，设原子是等间距的，衍射光束与原子链的夹角为?.当入
射 X光垂直于原子链时， A原子或 B原子散射波
2
图 1.21 X 光衍射
??n? 的光程差为acos?.当 acos时，各 A原子（或B原子）的散射波的相位差为0,散射波相互加强,形成很强的衍射光.
（2） 一个原胞内包含A,B两个原子能，取A 原子的坐标为(000)
1B原子的坐标为(00).
2衍射光的强度
?????????fcos2n?hu?fsin2n?hu??jj?jj??? I?j??j?
?(fA?fBcosn?h)2
从上式可知，取 h为1，当n 为奇数时，衍射光的强度正比于fA?fB, （3） 若fA?fB?f,当n 为奇数时，衍射光的强度为0.这时，A原子与 B原
子的散射波的相位差为?,相位相反,互相抵消,即对应消光现象. 当n 为偶数时,衍射光的强度最强, I?4f2.
22227．证明当电子的几率分布函数?(r)与方向无关时，原子散射因子是一实数。 [解答]
由《固体物理教程》（1。37）式得，原子散射因子
f?s???e?i2s?r?? (r)d?
当电子的几率分布函数?(r)与方向无关时，设 ?(r)=??r? s?r?srcos?
基中取 s的方向为球坐标的极轴方向，于是 f?s????e作变量变换
x?2?srco?s?i2?s?r? (rd)?????0?0ei2?co?s?? (r)?2r2sin?d?dr .
?,2?rsin?d????dxs
.得到
??f?s??????r???2?sreixdx?dr0?????s
?2?r?2?sr?????r?sin??dr?R.0s?????r2?sr上式积分R是一个实数。