如下面所示，A,B 是同一晶列上 O 格点的两个最近邻格点，
如果绕通过 O 点并垂直于纸面的转轴顺时针旋转? 角，则 A 格点转到 A' 点，若此时晶格自身重合，点处原来必定有一格点，如果再绕通过 O点的转轴逆时针旋转? 角，则晶格又恢复到未转动时的状态，但逆时针旋转? 角，B 格点转到 B'处，说明B' 处原来必定有一格点，可以把格点看成分布在一族相互平行的晶列上，由图１．１６可知，A'B' 晶列与 AB 晶列平行．平行的晶列具有相同的周期，若设该周期为a 则有
图1.16 晶格的旋转对称性
A'B'?2acos??ma,
其中m为整数，由余弦的取值范围可得
mcos???1.
2于是可得
m?0:???3?,22?2?4?5?m?1:??,,,;
3333m?2:???,2?.3?4?5??2??,，分别等于顺时针旋转，，,
233323所以晶格对称转动所允许的独立转角为
2??2?,?,?,,.
323上面的转角可统一写成 2?,n?1,2,3,4,6 n称n为转轴的度数，由此可知，晶格的周期性不允许有５度旋转对称轴．
17．利用转动对称操作，证明六角晶系介电常数矩阵为
;因为逆时针旋转
??11????0??00?2200?0??. ?33??［解答］
由《固体物理教程》（1。21）式可知，若 A是一旋转对称操作，则晶体的介电常数? 满足 ??A'?A.
对六角晶系，绕 x（即 a）轴旋180? 和绕z （即 c）轴旋 120?都是对称操作，坐标变换矩阵分别为
?100?A??0?10?x??1??00??????13?220??? A3z?????10???.?02021??????假设六角晶系的介电常数为
???11?12?13?????21??22?31???31??. 32?33??则由??A'x?Ax. 得
???11?12?13??????11??1221??22?31??? ???21?22??31?32?33??????31?32可见?12?0,?13?0,?31?0.
???1100?即???0?22??31???。 ?032?33??将上式代入 ??A'x?Ax. 得
???1100??0?22??31??0?? 32?33????13???31??. 33?????????????13?11??224433?11??22443??32233??11??224431?11??22441??322?3??23?2?1??23?
?2??33???由上式可得
?23?0,?32?0,?11??22.
于是得到六角晶系的介电常数
??11????0??00?1100?0??. ?33??18．试证三角晶系的倒格子也属三角晶系，
[解答]
对于三角晶系，其三个基矢量的大小相等。且它们相互间的夹角也相等。即
a?a1?b?a2?c?a3?a,???????.
利用正倒格子的关系，得
2?[a2?a3]2?a2sin?b1???b,??2?[a3?a1]2?a2sin?b2???b,
??2?[a1?a2]2?a2sin?b3???b.??设b1 与 b2的交角为 ?12, b2与b3的交角为?23,b3与b1的交角为 ?31 则有
b1?b2?b2cos?12????4?2??a2?a3???a3?a1??2?4?2 a1???a2?a3??a3??24?2?a1?a3??a2?a3???a1?a2?a22?4?2a42cos??cos?.2?????
由（1）和（2）式得
cos2??cos?cos??1?cos???cos?cos?12???? 221?cos?sin?1?cos?由 b2?b3 和 b3?b1可得
?cos?
,1?cos??cos?cos?31?.1?cos? cos?23?可见倒格基矢 b1 与b2 的交角，b2与b3的交角,b3与b1的交角都相等，这表明三个倒格基矢的长度不仅相等，且它们之间的夹角也相等，所以三角晶系的倒格子也属于三角晶系.
19．讨论六角密积结构，X光衍射消光的条件. [解答]
图1.17示出了六角密积结构的一个晶胞，一个晶胞包含两个原子，它们的位置矢量分别是
r1?0,211 r2?a?b?c.332 图 1.17 六角密积晶胞
因为是密积结构，所以原子散射因子 f1?f2?f.将上述结果代入几何因子 Fhkl??fjej?12i2n?huj?kvj?lwj??,
得Fhkl?f?fe?211?i2n??h?k?l??332?.
(hkl)晶面族引起的衍射光的总强度
?211??211??i2n??h?k?l????i2n??h?k?l???332?I?Fhkl?Fhkl??f?fe?332????f?fe???????????42?? ?f2?f2?2f2cos?n??h?k?l??3????3??42???2??2f?1?cos?n??h?k?l???.3?????3??由上式知，只有当
2?4?n??h?k?l??奇数，
3?3?时，才出现衍射消光.现将 h,k,l 的取值范围讨论如下：
(a) 当 n为奇数时，若l 为偶数，则 nl也为偶数,为保证
2?4?n??h?k?l?=奇数,
3?3?成立，须有
2??4 n??h?k??奇数，
3??3由此知
2n?2h?k??3?奇数?奇数.
但由于 h,k 为整数，上式左端是偶数，右端是奇数，显然是不成立的，矛盾的
产生是l 为偶数的条件导致的，所以 l不能为偶数，而只能为奇数，因而
2??4n??h?k??偶数
3??33?整数?整 n (b) 当n为偶数时，由
即 2h?k?2?4?n??h?k?l??奇数
3?3?
得 n?4h?2k?3l??3?奇数?奇数
上式左端是偶数，右端是奇数，显然也不成立，矛盾的产生是n为偶数的条件导致的，所以 n不能为偶数，
由上述讨论可知，衍射消光条件为 n?奇数 l?奇数
32h?k??整数(=整数)
n20．用波长为 1.5405? 的X光对钽金属粉末作衍射分析，测得布拉格角大小为序的五条衍射线，见表1-1 序号 1 2 19.611 28.136 ???? 3 35.156 4 41.156 5 47.769 ?