合肥师范学院《线性代数》课程试卷
试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间（120分钟）命题人：周永强Tel：15240039766
二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）
5、设?, ?, ?, ? 都是3×1矩阵, 分块矩阵A??????, B??????, 若A?2, B?3, 则A?B= 。
????6、设矩阵A??????23a2312b?12118?418118????则a? ，b? 。 ?为正交矩阵，
????题 号 得 分 得分 一 二 三 四 五 总分 一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1、若n阶矩阵A的第一行的3倍加到第二行后得矩阵B, 则不正确的是（ ）。
(A) A与B等价； (B) A与B相似； （C） A?B； (D) R(A)?R(B)。 2、A和B均为n阶矩阵，且(A?B)2?A2?2AB?B2，则必有（ ） (A) A?E； (B)B?E； （C） A?B. (D) AB?BA。 3、设A为n阶非奇异矩阵(n?2)，A?为A的伴随矩阵，则( ) (A) (A?1)??|A|?1A； (B) (A?1)??|A|A； (C) (A?1)??|A|?1A?1； (D) (A?1)??|A|A?1。 4、A和B均为n阶矩阵且AB?0，则必有（ ）。 （A）A?0或B?0,； （B）BA?0； (C) A?0或B?0； (D) A?B?0。 得分 ?12?2??a?????7、设A??212?，???1?，若A?与?线性相关，则a＝ 。
?304??1?????8、向量a?(?1,0,3,?5),??(4,?2,0,1),其内积为 。 得分 a1?a1三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）
a1?xa2?a2??anan?；
9、计算D?a2?x??an?x
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?110?10、已知矩阵A???110??000?与B??030,?相似?003????????00x??（1）求x；
（2）求可逆矩阵P，使得P?1AP?B。
得分 四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
11、设向量组?1,?2,?,?r线性无关，而?1,?2,?,?r,?,?线性相关，但?不能由?1,?2,?,?r,?线性表出，证明：?可以由?1,?2,?,?r线性表出，且表示法唯一． .
12、如果A2?E，则称A是对合矩阵。设A和B都为对合矩阵，则AB是对合矩阵的充分必要条件是AB?BA
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得分 五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分） 14、讨论?取什么值时下列线性方程组有解，并求解．
??x1?x2?x3?1??x1??x2?x3?1 ?x?x??x?13?12?3?2?10913、设A???，求A?5A。
??23?
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2215、设二次型f(x1,x2,x3)?5x12?5x2?ax3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2。
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（1）、求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值； （2）指出f(x1,x2,x3)?1表示何种曲面。
解答和评分标准
一、选择题
1、B； 2、D； 3、A； 4、C。 二、填空题
5、20; 6、a?，b?0； 7、-1； 8、-9。 三、计算题
9、解：将所有列全加到第一列并提起公因子，得
1D?(x??ai)i?1n当?1?0时，它对应的特征向量为a1?(1,?1,0)T 当对于?2?3时，它对应的特征向量为a2?(0,0,1)T 当?3?2时，它对应的特征向量为a3?(1,1,0)T。
?101???1?101PAP?B。 （4分） 取P??a1,?2,?3???，则???010???1311、证明：
（1）先证?可以由?1,?2,?,?r线性表出：
因为?1,?2,?,?r,?,?线性相关，所以存在不全为零的数k1,k2,，使?,rk?2 （4分）
得
k1?1?k2??k?k??2??rr??r1?ra2?a2??anan?1?1a2?x??an?xk??0． 2所有列减去第一列，得
1a2n0xD?(x??ai)??i?100?(x??ai)xi?1nn?1n由于?不能由?1,?2,?,?r,?线性表出，故必有kr?1?0，下证kr?2?0．用反证法：若kr?2?0，则
不全为零，故k1,k2,?,kr不全为零，k1?1?k??,rk2?2??kr?r?0，由于k1,k2,?2． （4分）
与?1,?2,?,?r线性无关的假设矛盾，于是kr?2?0，得到
???k1kk?1?2?2????r?r． （4分） kr?2kr?2kr?2?an?0 ???xnn?1?x?(?ai)xi?110、解：（1）、由于A与B相似，则tr(A)?tr(B)。因为tr(A)?5，tr(B)?3?x，则x?2。 （4分）
（2）、因为B的特征值为?1?0,?2?3,?3?2，所以A的特征值为
?1?0,?2?3,?3?2。
（2）下证表示法唯一：设??c1?1?c?2?2??cr?r，??l1?1?l?2?2??lr?r，则
c1?1?c????rc??22r?l?11?l?2?2r?l，?r
即(c1?l1)?1?(c2?l?)???r(cr?l?)r22第 5 页 共 7 页
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