由于?1,?2,?,?r线性无关，故c1?l1?0,c2?l2?0,?,cr?lr?0，即ci?li（i?1,2,?,r），于是表示法唯一． （4分）
k?10??1A?P??P
?05??10??1故A?P?P。 （4分） k?05??12、证明：A和B都为对合矩阵，则A2?E，B2?E。 （1）、若AB是对合矩阵，则
E?(AB)2?A(BA)B
下面计算
?10??10??1?11?A10?5A9?P[??5]P??2?????。 （4分）
?05??05??11?109两边左乘A，右乘B，得
AB?A2(BA)B2?BA。 （4分）
?111114、解：系数行列式为1?1?(??2)(??1)2 （3分）
?11??11?做初等?1????1（1）、当??1且???2时，方程有唯一解。对增广矩阵??1??11?（2）、若AB?BA，则(AB)2?A(BA)B?A(AB)B?A2B2?EE?E，所以AB是对合矩阵。 （4分） 13、解：由?E?A?0，得A的特征值为?1?1，?2?5。 （4分）
?1?1对应的特征向量为?1???，
1????1??2?5对应的特征向量为?2???。
?1??1?行变换，得
????1?1?111????2??2??23????11???1?11???1?1?1???1??1因为?1??2，则?1与?2正交。?1与?2单位化得
p1???取P?????1212???111???1?1?11???3???2??1? 1???1???2??1?， ??2??1???2??1??1?1?1?，p?2??， ??12?1?2??1??10?2??，则P是正交矩阵，且P?1AP??。从而 ?1??05??2?3???111111?????2?????1????0??10?010???2???????1??0??1?0???001??2???3??100????2??1???010??2????1???001??2???故得唯一解为x1?x2?x3?1。 （3分） ??2第 6 页 共 7 页
11???2111???21???1?211?1?211（2）、当???2时，增广矩阵?????，此时方程?1?1?21?003????0??x1??y1????x?P（2）存在正交变换?2???y2?，其中P为正交矩阵，使得二次型在新的?x??y??3??3?22变量y1,y2,y2下成为标准形4y2。于是曲面f(x1,x2,x3)?1等价于?9y3224y2?9y3?1，它是一个椭圆柱面。 （4分）
组无解。 （3分）
?1111??1111?（3）当??1时，增广矩阵??1111???0000???1111????，有无穷多组解。原???0000?? 方程组等价于
x1?1?x2?x3，其中x2,x3为自由未知量。
通解为
?1? ????0????k??1????1?1?1??k??2?0?，k1,k2为任意数． （3分） ??0????0????1??
15、解：设二次型f(x)?5x2221,x2,x31?5x2?ax3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的矩阵为
?5?13?A????15?3?? （2分） ??3?3a???5?13?对A做初等行变换A????15?3???????15?3??02?1?? ?3?3a????00a?3??因为f的秩为2，则A秩也为2，从而a?3。
当a?3时，容易计算?E?A???(??4)(??9)，于是A的特征值为??0，??4，??9。 （6分）
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