自由粒子：不受任何外力的粒子。
平面简谐波：以机械波为例，平面简谐波在传播过程中，波面为平面，坐标为x处的振动质点离开平衡位置的位移y是时间的正弦或余弦函数
y(x,t)?Acos[2?(x?vt)] 或 y(x,t)?Asin[2?(x?vt)]
??其中，A是质点振动的振幅，?是波长，v是频率。
为了数学上处理的方便，常把简谐波写成指数形式的虚函数，实际波动用实部表示
y(x,t)?Aei2?(x/??vt)
其中i??1。
一维自由粒子波函数：自由粒子不受外力，(相对论)总能量为常数，动量的大小和方向不变，根据v=E/h以及德布罗意关系式?=h/p，自由粒子频率和波长将保持不变。一维自由粒子波函数可以用平面简谐波的函数表示。将前面的两个关系式带入平面简谐波的波函数表达式，得到一维自由粒子波函数? (x,t)
?(x,t)?Aei(pxx?Ext)/? (1-2-6)
§1-3波函数
1. 波函数
量子力学中用?(x,t)描述体系的状态，?(x,t)是粒子坐标和时间的函数，它包含着体系可确定的全部知识，称为波函数（或态函数）。“态用波函数?来描述”可以简单说成“态?”。 对于三维一粒子体系，波函数可表示为：?(x,y,z,t),或者? (q,t)，q代表粒子的空间坐标。 对于三维三粒子体系，其波函数表示为：?(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,t),也可简写为?(q1,q2,q3,t)、?(1,2,3,t) 、?(q,t)，这里q代表所有粒子的空间坐标。对更多粒子的体系，可依此类推。
波函数的统计解释：波恩假设：?2代表几率密度。
对于一维一粒子体系，?2dx代表在t时刻、在x轴上x到x+dx之间找到粒子的几率，其中dx是无限小的长度。
对于三维一粒子体系，?2dxdydz表示在t时刻、在x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的体积元内找到粒子的几率。
对于三维多粒子体系，?2dx1dy1dz1...dxndyndzn表示在t时刻、同时在(x1, y1 z1)处以dx1, dy1,dz1为边的无限小的方形体积元内找到粒子1，?，在(xn, yn zn)处以dxn, dyn,dzn为边的无限小的方形体积元内找到粒子n的几率。
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找到粒子的几率可简写成?2d?，d?代表小体积元。
根据波恩对波函数的统计解释，知道了态，不能准确预测位置测量的结果，只能预知各种可能结果出现的几率。量子力学本质上是统计性的。
*哥本哈根解释的基本内容：①测不准原理：限制了我们对微观事物认识的极限，对一个物理量的测量行为会对体系产生扰动，影响对另外某些物理量的测量结果，所以不是所有物理量都能同时准确测量。②互补原理：指出不存在孤立于观察者之外的一个纯粹的客观世界，测量手段决定了对象所表现的形态。尽管波动性和粒子性是互相排斥的，但这是由于宏观世界中建立的语言无法对微观世界进行准确描述造成的。我们必须同时用这两种形态来对微观粒子进行描述。③波函数的统计解释：告诉我们量子世界的本质是“随机性”。波函数?就是一种统计，它的平方代表了粒子在某处出现的几率密度。“电子出现在x位置”完全是一种随机的过程。 波函数的归一化条件：
对于一维一粒子体系，将坐标a和b之间划分为无数无限小的区间，对各区间内找到粒子的几率进行加和，就得到[a,b]之间找到粒子的几率，这正是定积分的定义：
2b?dx (1-3-1) ?a因为在x轴上必然能找到粒子，所以在x轴上找到粒子的几率为1
??????dx＝1 (1-3-2)
2当波函数满足上式条件时，称波函数是归一化的。
推广到三维多粒子体系，归一化条件中的积分必须遍及所有坐标的所有区域。 对于三维一粒子体系，有3个坐标
?????????????dxdydz?1
2 对于三维n体系体系，有3n个坐标
?????????...????dx1dy1dz1...dxndyndzn?1
2 所以，归一化条件的一般表达式为
??d??1 (1-3-3)
?d?2表示积分区域遍及所有空间坐标的全部区域，注意，?d?表示一个定积分。
如果波函数?是未归一化的，则需要乘以一个适当的常数N使N?满足归一化条件。N称为归一化系数。根据归一化条件，有
N2?1??d?2 (1-3-4)
求N的过程称为对波函数进行归一化。
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2.品优(合格)波函数的要求
由于?具有几率密度的意义，因此波函数?需满足如下条件： ①平方可积(有限)
波函数要进行归一化，这只有当积分??2d?存在时才可以这样做。也就是说?必须是可积的。
22 对于非束缚态波函数，如自由粒子以及后面将提到的处于非束缚态的氢原子，其波函数不是平方可积的，通常也不要求进行归一化。(非束缚态是指粒子不受束缚的状态)
作为代替，有时也说波函数?要处处有限，这是因为处处有限的函数必然是平方可积的。但是，这是更为苛刻的说法，偶尔也会有波函数在原点处的值无限大，但仍平方可积。
???xxx
②单值
几率只可能有一个值，因此?必须单值，相应的要求?单值。
尽管有时多值的波函数也满足几率为单值的要求，如，在某个坐标处，?＝{1/2, -1/2, i/2}，则?=1/4为单值，但我们通常仍要求波函数单值。
22?x
③连续
几率应连续变化，不应出现突跃，所以波函数必须是连续的。
通常也要求波函数的一阶偏导数也是连续的(下面第二个函数图形中有尖点，不满足这个条件)。但需要注意：这一要求仅适用于势能处处有限的情形。若势能在某些位置发生了从有限到无限的无限跳跃，将导致一阶偏导数不连续。如后面将介绍一维势箱，势箱外的势能无限大，在箱壁上，波函数的一阶偏导数是不连续的；氢原子中的电子在原点处的势能无限大，波函数在原点处的一阶偏导数也是不连续的。在以后的讨论中我们再详细说明。
??xx
如果一个函数满足上述3个条件，则称该函数是品优(合格)的。
§1-4薛定愕方程和波函数
1. 含时间的薛定愕方程
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几乎在矩阵量子力学建立的同时，薛定谔建立的波动量子力学。薛定谔，泡利，约当很快就证明，两种力学在数学上来说是完全等价的。
薛定谔创立波动方程的思路是：从经典的哈密顿方程出发，构造一个体系的新函数?代入，然后再引用德布罗意关系式和变分法，最后得到了一个波动方程，称为薛定愕方程。 一维一粒子体系的含时间薛定愕方程：
对于质量为m的做一维运动的一个粒子(一维一粒子体系)，含时间的薛定愕方程为：
???(x,t)?2?2?(x,t)????V(x,t)?(x,t) (1-4-1) i?t2m?x2其中x,t分别为坐标和时间；i??1；??h/2?；V(x,t)是体系的势能函数，V(x,t)和作用力
F(x,t)之间的关系是
V(x,t)???F(x,t)dx?C (1-4-2)
势能函数中的C是任意常数，因而，势能的零点可以任意选取。
薛定愕方程中包含? (x,t)对时间的一阶导数，如果知道初始条件，如t0时刻的波函数，我们就可以根据方程计算未来任何时刻的波函数。 2.不含时间的薛定愕方程 保守力场和保守体系：
从(1-4-2)中可以看出，如果作用力与时间无关，势能也与时间无关，这种力场称为保守力场。处于保守力场中的体系称为保守体系。显然，保守体系的势能仅仅是坐标的函数，与时间t无关。
一维一粒子体系的不含时间的薛定愕方程：
设体系处于保守力场中，一维一粒子体系的含时间薛定愕方程可写为
???(x,t)?2?2?(x,t)????V(x)?(x,t) (1-4-3) i?t2m?x2我们来寻求?(x,t)可以写成x函数和t的函数的乘积形式的解，
?(x,t)??(x)f(t) (1-4-4)
数学上可以证明，如果能找到这种形式的解，薛定愕方程将没有其它形式的解。这种方法称为
分离变量法。
?(x,t)分别对
x和t求偏导
??(x,t)df(t)??(x) ?tdt???(x,t)d?(x)?f(t)???xdx ??2?(x,t)d2?(x)??f(t)?dx2??x2带入含时间的薛定愕方程，得到
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??f(t)?2?2?(x)??(x)??f(t)?V(x)?(x)f(t) i?t2m?x2两边同除以f((
EMBED Equation.3
(1-4-5)
观察(1-4-4)式的两端，左边与x无关，右边与t无关，因此两端必定等于同一个常数，设常
数为E。
对于(1-4-4)式左端
??1df(t)1iE?E ? df(t)??dt
if(t)dtf(t)?两端求积分
?iEt1iECf(t)?eelnf(t)???C ? C为任意常数df(t)??dt???f(t)?iEt??iEt??Ae
常数A＝e是一个乘因子，我们可以把它放在在与f(t)相乘的?(x)中，因此
f(t)?e?iEt?C (1-4-6)
对于(1-4-4)式右端
??21d2?(x)?V(x)?E
2m?(x)dx2上式可重新写为
d2?(x)dx2?2m?2[E?V(x)]?(x)?0 (1-4-7)
?2d2?(x)或 ??V(x)?(x)?E?(x) (1-4-8)
2mdx2(1-4-7)或(1-4-8)式称为一维一粒子体系的不含时间的薛定愕方程。
不含时间的薛定愕方程中，E以[E-V]的形式出现，和势能V具有相同的量纲，即能量的量纲，我们暂时假定E是体系的能量(在1.7节“薛定愕方程的算符表示”中再进行说明)。 结合(1-4-4)和(1-4-6)式，波函数可表示为
?(x,t)??(x)e?iEt? (1-4-9)
?是一个复数，因此，几率密度?2??*??，将波函数的表达式(1-4-9)带入，得到
?iEtiEt??]*?[?(x)e?]
?(x,t)?[?(x)e2 - 10 -