武汉理工大学毕业设计（论文）
2.1.2 库仑土压力理论
法国学者库伦采用静力平衡条件,在挡土墙后滑动楔体达到极限平衡状态时,解出墙背后作用在土压力,提出了著名的库伦土压力理论。库伦土压力理论由于其在墙背倾斜、粗糖及台后土体不平行的条件下得出的,因此其更具普遍实用意义。其适用条件为:
① 墙是刚性的，填土为砂土； ② 滑动面为通过墙踵的平面；
③ 滑动土楔处于极限平衡状态，并视其为刚体；
库伦理论只有无粘性土的计算公式,给出了总的台后土压力合力值的计算法。
被动土压力的计算公式如下所示
rH2Ep??212?rHKp2（2.2） 2??????sin???sin???cos2?cos??????1????cos???cos(???)??cos2????? 若墙背竖直,?值取为0;墙背光滑,即取?值为0;墙后填土水平,即?=0,则上两式的结果可简化为郎肯土压力公式。采用经典的土压力理论计算整体式桥台桥梁台后被动土压力,计算结果与实测值相比偏大,具有足够的安全性,但过于保守,浪费材料。其平衡状态及计算图如图2.2所示：
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2.1.3 胡晓军和谭晓慧改进的库仑被动土压力计算方法
朗肯和库仑土压力理论自问世以来,解决了大量的土压力计算问题,目前在工程中仍有着广泛的应用,但经典的朗肯理论要求墙背直立光滑,填土面水平,实际工程中难以严格满足,库仑理论则假定墙后填土为无黏性土,而实际工程中常遇黏性土胡晓军和谭晓慧（2009）对库仑理论进行了改进，在土楔中考虑到了粘聚力的影响，如图所示：
如图2.3所示挡土墙,墙体与填土参数为?,?,?,H,?,q,c,cw,?,设当墙体发生推向填土的位移，填土的抗剪强度全部发挥时，形成图中ABC的滑动体对滑动土体进行受力分析，如图2.4所示详细受力图所示。得到的被动土压力表达式为：
cHcos(???)cos??cwHsin(?????)sin(???)?（2.3）
cos?sin(???)cos(???????)按被动土压力的基本原理,被动土压力应为所有可能的滑裂面倾角H中所对应的土压力E的最小值,相应的滑裂面为真正的滑裂面,其倾角为?cr。理论上可
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先利用dEd??0,解出?cr,再代入上式中得到Ep的解析式,但会相当复杂,很难求出.本文利用上述表达式,假定不同的滑裂面,即假定不同的?，试算求得E的最小值即为被动土压力Ep,同时获得真正滑裂面的倾角?cr。为方便计算,在下面算例中，笔者用excel画出E与?的大致图像，然后估算出?cr。
库仑土压力和郎肯土压力理论分别根据不同的假设，以不同的分析方法计算土压力，只有在最简单的情况下（墙背竖直且光滑、填土面水平）用这两种理论计算的结果才相同。郎肯理论忽略了墙背与填土间的摩擦力，因而得到的被动土压力偏小；而库仑理论假设墙背填土为无粘性土，因此不能直接用于计算粘性土的土压力。同时，试验研究发现，在被动土压力状态下，填土的破裂面为曲面而非郎肯和库仑假设的平面，墙背与填土间的摩擦力越大曲面就越明显，上述两种理论的计算误差也就越大，因此，Krey（1936）和Ohde（1938）分别提出了摩擦圆法和对数螺旋线法，特别是对数螺旋线法，经太沙基推广后广受关注。
2.1.4 对数螺旋线-条分法
对数螺旋线法是对库仑理论的发展，也是通过墙后土楔的静力平衡求解被动土压力，不同之处在于土体的破裂滑裂面由对数螺旋线BD和与之相切的直线DE组成，如图2.5所示,该方法较于接近实际，在实际中，破裂滑裂面不可能像库仑理论假设的那样是一个光滑的斜平面，而是带有一定的弧形，对数螺旋面较好的弥补了库仑理论这一缺陷。
对数螺旋线法有如下基本假设：
① 直线AD和DE向上与水平线之间的夹角为?1?旋线BD的中心O点位于直线AD上；
② 在以三角形ADE表示的土体中，应力状态与半无限沉积层在被动郎肯状态下的应力状态相同，沿垂直断面CD上的剪应力等于零，因此垂直断面CD上的被动土压力Epr是水平的，作用位置和大小可由郎肯被动土压力确定；
③ 对数螺旋线BD的方程式为r?r0e?tan?45???2，并且对数螺
。r0表示??0时对应的向量
OB的长度；通过对数螺旋线中心O的每一个向量与螺旋线的相应切线相交成
90???的角度，因此对数螺旋线BD在过渡到直线DE的时候没有任何折断；
④ 对数螺旋线BD上反力之和F通过中心O；
求解被动土压力的关键就是确定对数螺旋线的位置O和方程。Shields等（1973）认为求对数螺旋线在B点的切线与水平线的夹角为?w，而?w是填土的内摩擦角?以及墙-土之间的摩擦角?的函数，并且可以根据墙底B点的填土的
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Mohr应力圆，利用三角函数关系确定其取值，?w确定后即可以确定滑动面的位置和方程，然后采用条分法计算被动土压力，这就是所谓的对数螺旋线-条分法。由于这一方法没有考虑填土的粘聚力c，Shamsabadi等学者（2005）对其进行了改进，依然根据墙底B点的填土的Mohr应力圆，利用三角关系确定?w，但其中包含了粘聚力c的影响，认为?w是c、?、?和墙高H四者的函数，因此该方法可以用于c-?类土，经Shamsabadi（2005）等学者改进的对数螺旋线-条分法（LogSpiral-Slice）有两个步骤，即首先确定对数螺旋线的方程和位置，然后分条计算最大被动土压力，由图2.6的Mohr圆及三角函数关系可得
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?)?a?aw?(45? （2.4） 2式中，a?大于0表示在水平线之上，小于0表示在水平线之下。 假设?x?K?z，则有：
1?1?2?K?tan?? a??tan? （2.5） ?2K?1??式中，?为墙-土间的摩擦角；
K为水平应力与竖直应力的比值，是填土强度参数c与?以及墙的高度H的函数，根据图可得
??x??z?2??2xz sin?????x??z???c?cot????2?4 （2.6）
将K??x带入上式可得?zcK?22????ccc??????2221?sin??sin(2?)?2cos(2?)??tan????tan??4????tan???1??z?z???????z??z?????cos2??4?tan2?
由角MON=90°可得
aw????max?(90???a1)?90 （2.7）
?max?a1?aw （2.8）
由上式以及墙高H可以求得滑裂面的位置和方程
x0?H?tan?aw??? （2.9）
1?tan?aw????tana1
y0?x0tana1 （2.10）
22r0?x0?(y0?H) （2.11）
rmax?r0?e?max?tan? （2.12）
Hd?rmax?sin?1?y0 （2.13）