武汉理工大学毕业设计（论文）
Hd?rmax?sin?1?y0?7.88?sin30??2.03?1.91m
Hd1.91w???3.3m ?tan?1tan30将郎肯被动土压力区作为第1区，其余区域分成5份，第j条份的受力分析图如
下：
图2.12 条分法计算被动土压力
运用郎肯被动土压力公式
其中被动土压力系数 Kp?tan2(45??由于填土为砂性土故有c?0
则1.91m处深度的被动土压力强度大小为：
?2)?3
Pp?rZKp?2cKp?19?3?1.91?108.87kPa
则1.91m处以上被动土压力大小为：
Ep?11rZ2Kp??19?1.912?3?103.91kN/m22
其余5个条块按条分法计算，计算过程如接下来的表格中：
表2.3 条分法求最大被动土压力法
得到最大被动土压力为E=428.23kN/m
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第三章“墙-土”体系力位移关系的确定方法
在上述算例中仅仅计算出了桥台台后填土的最大被动土压力，为了得出关于地震作用下桥台台后填土被动土压力-位移曲线，从而对其进行研究。接下来,首先便是介绍几种常用的确定墙-土体系力位移关系的几种常用方法，然后结合第二章的四种方法算得的四个被动土压力结果，绘出各个被动土压力在不同土压力-位移模式下的图形。
3.1 三种墙-土体系力位移关系的确定方法 3.1.1 Duncan双曲线方法
在土力学中，双曲线很早之前就被用来模拟土体的力-位移关系或力-应变关系，很多学者不断对其改进以模拟被动状态下档墙-填土的刚度，其最基本的形式为：
yP?
A?B?y (3.1)
式中，y表示挡土墙的位移量；P表示挡土墙位移量为y时，作用于单位宽度挡土墙的土压力；A和B为常数，其形式随双曲线模型不同而异。
Duncan和Mokwa（2001）根据下列边界条件确定A和B的值 边界条件I：当y?0时，由
1dP ?Kmax 可得A?Kmaxdy边界条件II：当y→∞时，由limP?RfPult 可得B?
PultRf于是可得Duncan双曲线力-位移如图3.1所示，表达式为：
P?y1Kmax?Rf?yPult (3.2)
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式中，
Kmax表示挡土墙-填土体系在被动状态下的初始刚度；
Pult表示单位宽度挡土上的最大被动土压力，可以采用前述土压力理论计算获
得；
Pasy为双曲线渐接线，Pasy?PultRf；
Rf为表示Pasy和Palt之间大小差别的经验系数；
作用是防止最大被动土压力发生在y→∞处，Duncan和Chang（1970）发现对于双曲线表示的应力-应变关系，Rf取0.75到0.95是比较合适的，Duncan和Mokwa(2001)认为对于双曲线表示的力-位移关系，该取值范围仍然是十分合适的。
初始刚度Kmax根据Douglas和Davis（1964）提出的弹性方法求解，如图3 .2所示，矩形ABCD表示位于弹性半无限空间中的平板，平板的一侧作用有均布荷载q，并假设另一侧的土体为弹性介质，由杨氏模量E和泊松比v表征。在均布力q作用下，可以求解ABCD四点的平均位移yvae，于是该矩形板-土体系的刚度也即Kmax为：
q?b?hKmax?K?yave (3.3)
3.1.2 FHD方法
Shamsabadi（2007）根据表3.1所示的10个实验结果提出了另一种形式的双曲线力-位移关系，如图3.3所示，该双曲线方法被Shamsabadi（2007）称为HFD（Hyperbolic Force-Displacement）方法。
表3.1 Shamsabadi（2007）确定HFD模型的十个实验
Silty Sand（Ref.） Fult/(Kips) ymax(in) ymax/H Silty Sand（ULCA,2006） 455 Clean Sand (BYU,2005) 245 Silty Sand (BYU,2005) 414 Fine Gravel (BYU,2005) 175 Coarse Gravel(BYU,2008) 453 Sand (BYU,2005) 345 Sand/Abutment(RPI,2009) 343 Sand/Pile Cap(RPI,2011) 28.3 Clay (UCD,1994) 312
K(K/in/ft) 54 51 53 51 46 42 17 7.5 25 3.3 2.2 2.2 1.8 2.6 1.3 4.3 4.3 6.6 0.05 0.05 0.05 0.04 0.06 0.03 0.06 0.1 0.1 武汉理工大学毕业设计（论文）
Sand (Fang,1994) 2.2 4.3 0.2 2.4
HFD方法通过下列边界条件求解双曲线函数方程式（B.1），并确定A和B的值 边界条件I：当y?yave时，由P?Pult2； 边界条件II：当y?ymax时，由P?Pult；
ymax2?Kymax?Fult?A?B? ，
2Kymax?FultFult?2Kymax?Fult? (3.4)
式中：
表示单位宽度挡土墙上的最大被动土压力；
K表示相应于被动土压力Fult/2时的割线刚度，K?Fult2/yave；
yav表示被动土压力达到eFult/2时的位移； ymax表示达到最大被动土压力Fult时的位移；
于是所表示的双曲线-位移关系Fult表示为：
??yP?ymax2?Kymax?Fult???y (3.5) 2Kymax?FultFult?2Kymax?Fult? 上式中共有Fult、K和ymax三个参数。Shamsabadi（2007）根据表.1所示
的10个试验将填土分为砂土和粘土两类，便分别给出了三个参数的经验取值，见表.B.2。
值得注意的是，表B.2中Fult和K的取值是对应于墙高为5.5ft的情况，因为一般情况下5.5ft是美国桥台背墙的大概高度，当墙高不等于5.5ft时可按墙高调整系数fs和fc进行调整。将表3.8中的数据带入式（B.5）可得：
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表3.2 HFD模型的参数
填土类型 Fult/(Kips) K(K/in/ft) ymax/H 非粘性土 粘性土 30.25 30.25 50 25 0.05 0.1 Height Factor Note：根据美国ASTM D-1557规范，压实率至少达到95%桥台背墙高H=5.5ft y?H1.5 (3.6)
0.142?0.383y 砂土：P?粘土: P?式中：
y?H (3.7)
0.121?0.163y P为挡土墙宽上的被动土压力，单位为kips/ft； Y为墙体的位移，单位为inches；
3.1.3 LSH方法
Shamsabadi（2007）采用双曲线表达的应力-应变关系作为填土的本构材料，并假设填土的破裂滑裂面为对数螺旋线和直线的组合。根据外荷载作用下应力-应变关系的发展过程求解挡墙-填土体系的力-位移关系，该方法被称为LSH（Log-Spiral-Hyperbolic）方法，其基本原理如下：