第三章 波束形成算法
3.1 波束形成的发展
近年来，阵列信号处理在无线通信系统中得到了广泛应用。在蜂窝移动通信中，通信信道的需求急剧增长，使提高频谱复用技术显得日益重要。这就是通常说的空分多址（SDMA）。其中一个重要部分便是波束形成。
自适应波束形成（ADBF）亦称空域滤波，是阵列处理的一个主要方面，逐步成为阵列信号处理的标志之一，其实质是通过对各阵元加权进行空域滤波，来达到增强期望信号、抑制干扰的目的；而且可以根据信号环境的变化自适应地改变各阵元的加权因子。
自从1959年Van Atta提出自适应天线这个术语以来，自适应天线发展至今已经40多年了，自适应研究的重点一直是自适应波束形成算法，而且经过前人的努力，已经总结出许多好的算法比如SMI算法，ESB算法等等。但理论与实际总是有差距的，因为实际系统存在误差，这使得实际阵列流形与理想阵列会把期望信号当干扰进行一直，造成输出信号干扰噪声比下降和副瓣电平升高，当输入信号的信噪比（SNR）较大时，这种现象尤为明显。面对误差，传统自适应波束形成算法的效果很不理想，所以，研究实际环境下稳健的自适应波束形成算法具有重要的理论意义和军事，民用应用价值。
自适应波束形成常用协方差矩阵求逆（SMI）算法，该算法具有较快的信号干扰噪声比（SINR）意义下的收敛速度。从协方差矩阵分解的角度，自适应波束形成是协方差矩阵特征值分散，小特征值对应的特征矢量扰动，并参与自适应权值计算所致。针对这一问题，基于协方差矩阵非线性处理和对角线加载波束保形方法，对协方差矩阵非线性处理的加权因子的选取只能通过经验来取得；而在不同的干扰和噪声环境下对角线加载量的选取，至今没有很好的解决方法。
文献[3]提出了利用投影算子对阵列数据进行降维处理,在一定程度上降低了运算量,同时提高了自适应波束的稳健性,其投影算子是根据目标和干扰的粗略估计,以及不完全的阵列流形知识得到的。当相关矩阵中含有期望信号时,导致输出SINR下降,波形畸变较严重,另外,当存在系统误差和背景噪声为色噪声时,该方法虽然能够减小协方差中的扰动量,但副瓣电平还会出现一定程度的升高以及主瓣发生偏离现象。文献[4～5]提出的基于特征空间(ESB)的自适应波束形成算法,其权向量是在线性约束最小方差准则(LCMV)下的最优化权,向信号相关矩阵的
特征空间作投影得到的。文献[6]提出了一种改进的自适应波束形成算法,该算法根据期望信号输入的大小,进行不同的处理,同时在存在相关或者相干干扰时仍具有较好的抑制性能和波束保形能力,从而大大提高了波束形成的稳健性。
在阵列信号处理自适应数字波束形成(ADBF)技术中,线性约束最小方差准则(LCMV)是比较常用的一种算法[7],它在保证对期望信号方向增益一定值的条件下,计算最优权矢量使阵列输出功率最小,因此该算法需要知道精确的期望信号方向作为约束方向.但是实际系统常存在误差,当期望信号的实际方向与约束方向有误差时,称这一误差为指向误差,自适应波束形成会把实际期望信号作为干扰,在其方向上形成零陷,导致期望信号相消,线性约束最小方差准则的性能会急剧下降.为了克服LCMV算法对指向误差的敏感性,人们又提出了基于特征空间波束形成算法(ESB)[8～11],其权矢量是由LCMV波束形成器的最优权矢量向信号相关矩阵特征空间作投影得到的,该算法比LCMV算法有较好的性能,具有较快的收敛速度和较强的稳健性.虽然ESB算法不象LCMV算法那样对指向误差敏感,但当指向误差较大时, ESB算法的性能也会急剧变差,尤其是当阵列孔径较大时,很小的指向误差也会使ESB算法性能下降,文献[12]提出一种改进的ESB自适应波束形成算法在指向误差较大时,仍能有较好的性能.该算法主要是利用阵列接收数据来校正ESB算法的约束导向矢量,使该导向矢量尽可能地接近期望信号的导向矢量,从而提高波束形成器的性能. ESB自适应波束形成算法的前提是必须知道信号源的数目[11],估计信号源数的主要方法有AIC和MDL法;另外, ESB算法一般处理的都是信号不相干的情况,当信号相干时, ESB算法和空间平滑或Toeplitz化等解相关技术结合起来,同样可以达到好的效果。
阵列天线自适应波束形成技术在理论上具有十分优良的性能，但是在实际应用中却不尽如人意，究其原因是阵列天线不可避免地存在各种误差（如阵元响应误差、通道频率响应误差、阵元位置扰动误差、互耦等），各种误差可以综合用阵元幅相误差来表示。近年来，许多文章从不同侧面分析了阵列误差对自适应阵性能的影响。文献[13]对各种误差的影响进行了分析综述，基本结论是，对于只利用干扰加噪声协方差矩阵求逆（Noise-Alone Matrix Inverse,NAMI）的方法，幅相误差对自适应波束形成的影响不大（干扰零点深度没有变化，波束指向有一定的误差）；但是对于利用信号加干扰和噪声协方差矩阵求逆（Signal-Plus-Nose Matrix Inverse,SPNMI）的自适应防哪个法，当信号噪声比(SNR)较大时，虽然干扰零点位置变化不大，但是在信号方向上也可能形成零陷，导致输出SNR严重下降。线性约束最小方差（LCMV）准则是最常用的自适应波束形成方法，当信噪比差国一定的门限时，基于CPNMI方法的线性约束自适应波束形成器对阵列
天线的幅相误差有很高的敏感度，即使在误差很小的情况下，期望信号也会如同干扰一样被抑制掉。
广义旁瓣相消器（GSC）是LCMV的一种等效的实现结构，GSC结构将自适应波束形成的约束优化问题转换为无约束的优化问题，分为自适应喝非自适应两个支路，分别称为主支路和辅助支路，要求期望信号只能从非自适应的主支路通过，而自适应的辅助支路中仅含有干扰和噪声分量，其自适应过程可以克服上述SPNMI方法中期望信号含于协方差矩阵引起的信号对消问题。但是正如文献[14]中所指出，由于阵列天线误差的存在，GSC的阻塞矩阵并不能很好地将期望信号阻塞掉，而使其一部分能量泄露到辅助支路中，当信噪比较高的时候，辅助支路中也含有相当的期望信号能量，类同SPNMI方法，此时会出现严重的上下支路期望信号抵消的现象，文献[14]将泄露的期望信号功率作为惩罚函数，提出了人工注入噪声的方法，使GSC具有稳健性，人工注入的噪声必须具有合适的功率，文献[15]指出，波束形成齐的稳健性可用它的白噪声增益来衡量，对白噪声增益的限制可用对自适应权向量进行二次不等约会素来代替，使自适应权向量的范数小于一定的值，同样可以提高GSC的稳健性。
此外，在这些基本算法的基础上，文献[16]提出了一种基于广义特征空间的波束形成器（GEIB）。文献[17]提出了正交投影方法(OP)。文献[18，19]提出了一种基于酉变换的谱估计方法,已成功应用于波达方向估计中。
3.2 常用的波束形成算法
本章介绍了几种常用的波束形成算法，并比较了适应波束形成的准则。文中对常用的波束形成算法进行了仿真。
3.2.1 波束形成定义
利用阵元直接相干叠加而获得输出，因而很显然只有在垂直于阵列平面的方向的入射波在阵列输出端才能同相叠加，以致形成方向图中的主瓣的极大值。反过来说，如果阵列可以围绕它的中心轴旋转，那么当阵列输出为最大时，空间波必然由垂直于阵列平面的方向入射而来。但有些天线阵列是很庞大的，是不能转动的。因此，我们设法设计一种相控阵天线（或称常规波束形成法）或称CBF法，这是最早出现的阵列信号处理方法。在这种方法中，阵列输出选取一个适当的加权向量以补偿各个阵元的传播延时，从而使在某一期望方向上阵列输出可以
同相叠加，进而使阵列在该方向上产生一个主瓣波束，而对其他方向上产生较小的响应，用这种方法对整个空间进行波束扫描就可确定空中待测信号的方位。
以一维M元等距线阵为例，如图所示，设空间信号为窄带信号，每个通道用一个复加权系数来调整该通道的幅度和相位。
x1(n)x2(n)xM(n)w1(?)w2(?)wM(?)y(n)图3.2.1 波束形成算法结构图
这时阵列的输出可表示为：
y(t)??wi*(?)xi(t) （3.2.1）
i?1M上式中―*‖表示复共轭。
如果采用向量来表示各阵元输出及加权系数：
X(t)??x1(t)x2(t)?xM(t)?TTW(?)??w1(?)w2(?)?wM(?)? （3.2.2）
那么，阵列的输出也可用向量表示：
y(t)?WH(?)X(t) （3.2.3）
为了在某一方向?上补偿各阵元之间的时延以形成一个主瓣，常规波束形成器在期望方向上的加权向量可以构成为：
W(?)?1e?jw???e?j(M?1)w?? （3.2.4）
T观察此加权向量，发现若空间只有一个来自方向?的信号，其方向向量a(?)的表示形式跟此权向量一样。则有：
y(t)?WH(?)X(t)?aH(?)X(t) （3.2.5）
这时常规波束形成器的输出功率可以表示为：
2HHPCBF(?)?E[y(t)]?W(?)RW(?)?a(?)Ra(?) （3.2.6）
上式就是理想条件下的常规波束形成法的输出功率谱，3-4式中矩阵R为阵列输出X(t)的协方差矩阵。即R?E[X(t)XH(t)]。
下面我们来分析以下常规波束形成法的角分辨率问题。一般来说，当空间有两个同频信号（例如多径信号或干扰信号），投射到阵列，如果它们的空间方位角的间隔小于阵列主瓣波束宽度时，这时不仅无法分辨它们而且还会严重影响系统的正常工作，或者说：对于阵列远场中的两个点信号源，仅当它们之间的角度分离大于阵元间隔（或称阵列孔径）的倒数时 ，他们方可被分辨开，这就是瑞利准则，说明常规波束形成法固有的缺点就是即角分辨低，如果要设法提高角分辨率，就要增加阵元间隔或增加阵元个数。这有时在系统施工上式难于实现的。
除此之外，常规波束法中固定的加权向量即?一旦选定就不能够改变了。
3.2.2 波束形成的最佳权向量
虽然阵列天线的方向图是全方向的，但阵列的输出经过加权求和后，却可以被调整到阵列接收的方向增益聚集在一个方向，相当于形成了一个―波束‖。这就是波束形成的物理意义所在。波束形成技术的基本思想是：通过将各阵元输出进行加权求和，在一时间内将天线阵列波束―导向‖到一个方向上，对期望信号得到最大输出功率的导向位置即给出波达方向估计。
上述―导向‖作用是通过调整加权系数完成的，阵列的是对各阵元的接收信号向量x(n)在各阵元上分量的加权和。令权向量为w?[w1,?,wM]T，则输出可写作
*y(n)?wx(n)??wmxm(n) （3.2.7）
Hm?1M可见对不同的权向量，上式对来自不同方向的电波便有不同的响应，从而形成不同方向的空间波束。
一般用移相器作加权处理，即只调整信号相位，不改变信号幅度，因为信号在任一瞬间各阵元上的幅度式相同的，不难看出，若空间只有一个来自方向?k的电波，其方向向量为a(?k)，则当权向量w取作a(?k)时，输出
y(n)?a(?k)Ha(?k)?M最大，实现导相定位作用。这时，各路的加权信号为相干叠加，我们称这一结果为空域匹配滤波。