方法里，都是通过求在时刻k得到的第q个拥护的期望信号的估计。
MMSE方法
MMSE准则是在波形估计，信号检测和系统参数辨识等信号处理中广泛使用的一种优化准则。
顾名思义，MMSE准则就是使估计误差y(k)?dq(k)的均方值（总体平均）最小化，即代价函数取
HJ(wq)?Ewqx(k)?dq(k)?2? （3.3.1）
式中x(k)?[x0(k),x1(k),?,xM?1(k)]T
代价函数为第q个信号的阵列输出与该信号在深刻k的期望形式之间的平方误差的数学期望值。上式可以展开成
HH**J(wq)?wqEx(k)xH(k)wq?Edq(k)xH(k)wq?wqEx(k)dq(k)?Edq(k)dq(k)
????????由上式可以求得
?*J(wq)?2E{x(k)xH(k)}wq?2E{x(k)dq(k)}?2Rxwq?2rxd （3.3.2） ?wq式中Rx是数据向量x(k)的自相关矩阵，即
Rx?E{x(k)xH(k)} （3.3.3）
而rxd是数据向量x(k)与期望信号dq(k)的互相关向量，即
rxd?E{x(k)dq(k)} （3.3.4）
令
?J(wq)?0 ，则得 ?wq?1wq?Rxrxd （3.3.5）
这就是MMSE意义下的最佳天线阵列权向量，它是Wiener滤波理论中最佳滤波器的标准形式。
LS方法
在MMSE方法中，代价函数定义为阵列输出与第q个用户期望响应之间误差平方的总体平均（均方差），实际数据向量总是有限长的，如果直接定义代价
函数为其误差平方，则得到LS方法。
假定有N个快拍的数据向量x(k)，k=1,….,N，定义代价函数
J(wq)?容易求出其梯度为
?wk?1N2Hq*(k)x(k)?dq(k) （3.3.6）
NNNN?H*?J(wq)?J(wq)?2??x(m)x(n)wq???x(m)dq(n) （3.3.7）
?wqm?1n?1m?1n?1令梯度等于零，易得
wq?(XHX)?1XHdq （3.3.8）
这就是最小二乘意义下针对第q个用户的波束形成器的最佳权向量，式中
X?[x(1),x(2),?,x(N)]dq?[dq(1),dq(2),?,dq(N)]T分别是数据向量和期望信号向量。
（3.3.9）
上面介绍的MMSE方法和LS方法的核心问题是，在对第q个用户进行波束形成时，需要在接受端使用该用户的期望响应。为了提供这一期望响应，就必须周期性发送对发射机和接受机二者皆为已知的训练序列。训练序列占用了通信系统宝贵的频谱资源，这是MMSE方法和LS方法共同的主要缺陷。
一种可以代替训练序列的方法时采用决策指向更新（decision-directed adaptation）对期望响应进行学习。在决策指向更新中，期望信号样本的估计 根据阵列输出和信号解调器的输出重构。由于期望信号是在接受端产生的，不需要发射数据的知识，因此不需要训练序列。然而，当解调器出现误差时，重构的期望信号估计值的质量会很差，使用这一估计的自适应酸法就可能导致权向量不正确，这又会进一步加剧解调信号的误差。
除了MMSE和LS这两种最佳波束形成技术外，还有最大信噪比（Max SNR）和线性约束最小方差（LCMV：linearly constrained minimum variance）两种统计最佳波束形成技术。
上面介绍了确定自适应阵列系统的最佳权向量的集中方法，但他们都是批处理方法。我们在前面曾反复强调，由于移动用户的运动，移动通信中的无线信道和信源的波达方向均是时变的，因此最佳波束形成应该具有自适应不断更新权向量的功能。
3.3.3 权向量更新的自适应算法
上面介绍的自适应阵列的最佳权向量确定需要求解法方程，一般说来，我们并不希望直接求解法方程，其理由如下：（1）由于移动用户环境是时变的，所以权向量的解必须能及时更新；（2）由于估计最佳解需要的数据是含噪声的，所以希望使用一种更新技术，它能够利用已求出的劝降量求平滑最佳响应的估计，以减小噪声的影响。因此，我们希望使用自适应算法周期更新权向量。
自适应算法既可采用迭代模式，也可采用分块模式工作。所谓迭代模式，就是在每个迭代步骤，n时刻的权向量加上一校正量后，即组成（n+1）时刻的权向量 ，用它逼近最加权向量w。在分块模式中，权向量不是在每个时刻都更新，而是每隔一定时间周期才更新；由于一定时间周期对应于一数据块而不是一数据点，所以这种更新又称分块更新。
为了使阵列系统能自适应工作，就必须将上节介绍的方法归结为自适应算法。这里以MMSE方法为例，说明如何把它变成一种自适应算法。
考虑随机梯度算法，其更新权向量的一般公式为
1wq(k?1)?wq(k)??? （3.3.10）
2式中，???J(wq(k))；?称为收敛因子，它控制自适应算法的收敛速度。
?wq(k)由式（3.3.2）直接有
*??Rxwq(k)?rxd?E{x(k)xH(k)}wq(k)?E{x(k)dq(k)} （3.3.11）
上式中的数学期望用各自的瞬时值代替，即得k时刻的梯度估计值如下：
?(k)?x(k)[xH(k)w(k)?d*(k)]?x(k)e(k) （3.3.12） ?qqq*式中eq(k)?xHwq(k)?dq代表阵列输出与第q个用户期望响应dq(k)之间的(k)，
?(k)是真实梯度?的无偏瞬时误差。容易证明（例如参考文献[35]），梯度估计?估计。
将式（3.3.12）代入式(3.3.10)，即得到我们熟悉的LMS自适应算法如下：
wq(k?1)?wq(k)??x(k)eq(k) （3.3.13）
MMSE方法可以用LMS算法实现，而LS方法的自适应算法为递推最小二乘（RLS）算法。表3.3.1列出了自适应阵列系统权向量更新的三种自适应算法，它们是LMS算法，RLS算法和Bussgang算法。从表中可看出，自适应算法LMS
和RLS需要使用训练序列，但Bussgang算法不需要训练序列。除了Bussgang算法外，还由一些自适应算法也不需要训练序列。这些不需要训练序列的方法习惯统称为盲目自适应算法。
表3.3.1 三种自适应波束形成算法的比较
算法 初 始 化 更 新 公 式
最小均方（LMS）算法
递推最小二乘（RLS）算法
Bussgang算法
?0?0 w?0?0wP0???1I
?0?[1w，0，?，0]T
?：某个很小的常数?H(k)x(k)y(k)?we(k)?d(k)?y(k)?(k?1)?w?(k)??x(k)e*(k)w
v(k)?P(k?1)x(k)u(k)???1v(k)1???1xH(k)v(k)
?H(k)x(k)y(k)?we(k)?g(y(k))?y(k)?(k?1)w?(k)??x(k)e*(k)?w
?H(k?1)x(k)?(k)?d(k)?w?(k)?w?(k?1)?u(k)?*(k)wP(k)???1[I?u(k)xH(k)]P(k?1)收敛 因子
步长参数?0???tr(R)
遗忘因子?
0???1步长参数?
注意，在Bussgang算法中，g(y(k)是一个非线性的估计子，它对解调器输出的信号y(k) 作用，并用g(y(k))代替期望信号d(k)，然后产生误差函数e(k)=d(k)-y(k)=g(y(k))-y(k)。
个人无线通信系统与雷达、声纳等军事应用不同，移动用户通常是合作性对象。由于是合作性的，虽然直接利用发射信号本身（训练序列）不可取（因为浪费宝贵的频谱资源），但我们却可充分利用发射信号的某些特征，例如前面介绍的时间特征（恒模性、非高斯性和循环平稳性等）。Bussgang算法对发射的信号（接收机的输入信号）是完全―闭上眼睛‖的，对可以利用的发射信号的特征视而不见。因此，估计子 （相对于发射信号）是无记忆的。相反，另外一些盲自适应算法则对发射信号―张开眼睛‖，灵巧地利用发射信号的特征进行相应 的算法设计。从这个角度讲，Bussgang算法是一种全盲的自适应算法，而其他盲目自适应算法则是―半盲‖的。
由于充分利用了发射信号的固有特征、半盲自适应算法往往可以收到事半功
倍的效果。
3.4 广义旁瓣相消(GSC)的波束形成算法及其改进
在分析传统广义旁瓣相消(GSC)自适应波束形成的基础上，提出一种改进的广义旁瓣相消(GSC)的波束形成方法，即基于特征结构的GSC波束形成算法 (ES-GSC)，该算法在投影特征空间中引入了期望信号方向矢量，能在期望信号功率较大时保持自适应波束形成方法性能，又能在期望信号功率较小时（甚至为零）具有较好的波束保形能力，对噪声有很好的鲁棒性。
线性约束最小方差(LCMV)准则是最常用的自适应波束形成方法。广义旁瓣相消器(GSC)是LCMV的一种等效的实现结构，GSC结构将自适应波束形成的约束优化问题转换为无约束的优化问题，分为自适应和非自适应两个支路，分别称为主支路和辅助支路，要求期望信号只能从非自适应的主支路通过，而自适应的辅助支路中仅含有干扰和噪声分量，在高信噪比的情况下，将有一部分期望信号泄漏到辅助之路中，出现了信号相消现象。文献[23]提出了信号子空间投影的GSC改进算法，来提高GSC稳健性,但在低信噪比下发生波束形成畸变。文中将提出一种改进的广义旁瓣相消(GSC)的波束形成方法，即基于特征结构的GSC算法 (ES-GSC)，该算法不仅克服了传统GSC算法在高信噪比下波束形成效果变差的缺点，而且克服了文献[23]中提出的改进GSC算法在低信噪比下性能差的缺点。
3.4.1 广义旁瓣相消器（GSC）算法
线性约束最小方差（LCMV）准则可表示为
w?argminwHRw s.t.：CHw?f (3.4.1)
w其中：R为接收信号的自相关矩阵，C为M×（J＋1）维约束矩阵，f为（J＋1）维约束向量，M为阵列中天线数，J为干扰信号的个数。上式的最优解为：
w?R?1C(CHR?1C)?1f (3.4.2)
如图3.4.1所示，在与LCMV等效的广义旁瓣相消器结构中，权向量被分解为自适应权和非自适应两部分，其中非自适应部分位于约束子空间中，而自适应部分正交于约束子空间，系统的权向量可表示为：