随之增大xm，即
m*(z?2ha?2c*)?xm （4.26） 2由于分度圆半径保持不变，故齿根高比标准齿轮反而减小了xm，即
rf?*hf?(ha?c*?x)m （4.27）
**若为了保持全齿高不变，仍等于(2ha?c)m，则正变位齿轮的齿顶高为
*ha?(ha?x)m （4.28）
齿顶圆半径为 ra?m*(z?2ha)?xm （4.29） 2如果是负变位齿轮，则将变位系数x用负值代入就可以了。
必须指出，被切齿轮的齿顶圆在加工前已由轮坯决定，与刀具径向移动位置无关。尤其是一对变位齿轮要实现无侧隙啮合传动时，由于齿顶高尺寸发生了变化，其轮坯齿顶圆半径应设计为
ra?m*(z?2ha?2x?2?y) （4.30） 2式中?y称为称为齿高变动系数，有关证明可参阅参考文献[2]。
4.10.2 变位齿轮的无侧隙啮合
变位齿轮传动与标准齿轮传动一样，除了要满足正确呐台条件和连续传功条件外，也应满足无侧隙啮合和标准顶隙的要求。对于一对标准齿轮，因其分度圆齿厚等于齿槽宽，故按标准中心距安装时，自然可以满足无侧隙啮合条件。对于变位齿轮，因其分度圆齿厚有所增加或减小，需进一步探讨其满足无侧隙啮合的条件。
如4.6.1所述，当一对齿轮作无侧隙啮合时，一轮的节圆齿厚应等于另一轮的节圆齿槽宽，即e1'?s2'，e2'?s1'，所以节圆齿距为
'''p'?s1'?e1'?s2?e2?s1'?s2 （4.31）
由渐开线任意圆齿厚计算公式[3]，得齿轮两轮节圆齿厚：
r1's?s1?2r1'(inv?'?inv?)r1'1's2?s2r?2r2'(inv?'?inv?)r2'2
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两轮分度圆齿厚：
s1?m(?2x1tan?)2s2?m(?2x2tan?)2??
r1'r2'p'cos?又 ??? , p??m
r1r2pcos?'将以上关系式代入（4.31）整理后得
inv??2(x1?x2)tan??inv? （4.32）
z1?z2该式称为齿轮无侧隙啮合方程式，是变位齿轮传动的重要方程式。它反映了一对相啮合齿轮的变位系数和（x1?x2）与啮合角之间的关系。该式和中心距与啮合角关系式a'cos?'?acos?是变位齿轮传动设计的基本关系式，通常成对使用。
4.10.3 变位齿轮传动类型
按照一对齿轮的变位系数之和(x1?x2)的不同，变位齿轮传动可分为三种类型。
1 零传动(x1?x2?0)
如果一对齿轮的变位系数之和等于零，则这种齿轮传动称为零传动，零传动又可分为两种情况：
（1）标准齿轮传动
两轮的变位系数都为零，即x1＝x2＝0。
根据标准齿轮作无齿侧间隙啮合条件知，当两标准齿轮作无齿侧间隙啮合传动时，啮合角?'等于分度圆压力角?，节圆与分度圆重合，中心距等于两轮分度圆半径之和。为了避免根切，两轮的齿数须满足Z1＞Zmin，Z2＞Zmin的条件。
这种齿轮传动具有设计计算简单、重合度较大、不会发生过渡曲线干涉和齿顶厚度较大等优点，但也存在一些较严重的缺点：
1) 抗弯曲强度能力较弱。由于基圆齿厚随齿数Z减少而减薄，所以小齿轮的基圆
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齿厚比大齿轮基圆齿厚小，小齿轮根部成为抗弯曲强度的薄弱环节，容易损坏，从而限制了一对齿轮的承载能力和使用寿命。
2) 小齿轮齿数受到不发生根切条件的限制，因而限制了结构尺寸的减小和重量的减轻。
3) 不能凑配中心距。在齿轮变速箱中，常常要求两对及两对以上齿轮具有相同的中心距，然而它们各自的标准中心距往往不等，使实际安装中心距不能与多对齿轮各自的标准中心距相等。若齿轮不变位，则标准中心距小于安装中心距的一对齿轮将产生齿侧间隙，而且重合度也会减小，影响齿轮传动的平稳性，反之标准中心距大于安装中心距的一对齿轮将无法安装。
（2）高度变位齿轮传动(或称等变位齿轮传动)
这种齿轮传动中两轮的变位系数之和x1?x2?0，但x1??x2?0。由无侧隙啮合方程式、中心距与啮合角关系式可知：
啮合角
?'??
中心距 a'?a
为了避免根切，两轮的齿数必须满足以下条件：
*2(ha?x1)z1?sin2?*2(ha?x2) z2?sin2?*4ha?2(x1?x2)z1?z2?sin2?因为 x1?x2?0,所以
*4haz1?z2??2zmin
sin2?上式表明，在高度变位齿轮传动中，两轮的齿数之和必须大于或等于两倍的不发生根切的最少齿数。
在这种传动中，虽然两轮的全齿高不变，但每个齿轮的齿顶高和齿根高已不是标准值，它们分别为
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*ha1?(ha?x1)mha2?(h?x2)m*a
*hf1?(ha?c*?x1)mhf2?(h?c*?x2)m*a
故这种齿轮传动称为高度变位齿轮传动。又由于两个齿轮的变位量绝对值相等，所以又称为等变位齿轮传动。
在一对齿数不等的高度变位齿轮传动中，通常小齿轮采用正变位，大齿轮采用负变位。与标准齿轮传动相比，这种传动有以下优点：
1) 可以减小机构的尺寸。因为小齿轮正变位，齿数Z1可以少于Z1min而不产生根切，
在传动比一定的情况下，大齿轮的齿数可相应减少，从而减小齿轮机构尺寸。 2) 可以相对地提高两轮的承载能力。由于小齿轮正变位，齿根厚度增加，大齿轮负
变位而齿根有所减弱，从而使大、小齿轮的抗弯曲能力接近，相对地提高了齿轮传动的承载能力。
3) 可以改善齿轮的磨损情况。由于小齿轮正变位，齿顶圆半径增大了；大齿轮负变
位，齿顶圆半径减小，这样就使实际啮合线向远离N1点的方向移动一段距离，从而减轻了小齿轮齿根部的齿面磨损。
由以上分析可知，与标准齿轮传动相比，高度变位齿轮传动具有较多的优点，因此，在安装中心距与标准中心距相等的情况下，应该优先考虑采用高度变位齿轮传动，以改善传动性能。
2 正传动（x1?x2?0）
如果一对齿轮的变位系数之和大于零，则这种齿轮传动称为正传动。由于
x1?x2?0 ，所以两轮的齿数和可以小于2zmin，同时
啮合角
中心距
?'??
a'?a
正传动有以下优点：
（1）由于x1?x2＞o，两轮中必有一个齿轮采用正变位，因此两轮齿数不受
z1?z2?2zmin的限制，这样齿轮机构可以设计得更为紧凑。
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（2）由于两轮都可以正变位，所以可以使两轮的齿根厚度均增加，从而提高了轮齿的抗弯能力。或者小齿轮正变位，大齿轮负变位，也可以相对提高轮齿的抗弯能力。 （3）由于a＞a，所以在节点啮合时的齿廓综合曲率半径增加，从而降低了齿廓接触应力，提高了接触强度。
（4）适当选择两轮的变位系数x1和x2，在保证无齿侧间隙啮合传动的情况下可配凑给定的中心距。
但是，由于正传动的啮合角?'??，所以实际啮合线将会缩短，重合度会有所下降，因此在设计正传动时，需要校核?a，以保证?a≥??a?，此外，正变位齿轮的齿顶易变尖，在设计时也需要校核齿顶厚sa，以保证sa??sa?。
'3 负传动（x1?x2<0）
若一对齿轮的变位系数之和小于零，则这种齿轮传动称为负传动。由于x1?x2＜0，在无齿侧间隙啮合传动时
啮合角
?'??
中心距 a'＜a
由于正传动的优点正好是负传动的缺点，因此负传动是一种缺点较多的传动。通常只是在实际安装中心距a'＜a的情况下，才利用它来配凑中心距。此外，与其它传动相比，负传动的重合度会略有增加。需要注意的是由于x1?x2＜0，所以两轮的齿数之和必须大于2zmin。
由于正传动和负传动啮合角均不等于分度圆压力角，即啮合角发生了变化。所以这两种传动又统称为角变位齿轮传动。
从以上介绍的各种齿轮传动特点可以看出：正传动的优点较多，传动质量较高，所以应多采用正传动；负传动的缺点较多，除用于配凑中心距外，一般情况下尽量不用；在传动中心距等于标准中心距时，为了提高传动质量，可采用等变位齿轮传动代替标准齿轮传动。
4.10.4 变位齿轮传动应用
变位齿轮是在渐开线标准齿轮基础上发展而来，它不需要特殊的机床、刀具和工艺，只需合理选定变位系数即可获得比标准齿轮传动更优越的性能。它不仅解决了齿
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