体eh 段和fg 段上的电动势为零［此两段导体上处处满足?v?B??dl?0］，因而线框中的总电动势为
E???v?B??dl???v?B??dl???v?B??dl???v?B??dl?Eef?Ehg其等效电路
efghefhg如图（ｂ）所示．
dΦ求解，式中Φ是线框运动至任意位置处时，穿过线框的磁通量．为此设dtdξ?v．时刻t 时，线框左边距导线的距离为ξ，如图（c）所示，显然ξ是时间t 的函数，且有在dt2．用公式E??求得线框在任意位置处的电动势E（ξ）后，再令ξ＝d，即可得线框在题目所给位置处的电动势．
解1 根据分析，线框中的电动势为
E?Eef?Ehg
???v?B??dl???v?B??dl
efhg?l2μ0Ivl2μ0Ivdl?dl ??002πd2π?d?l1??μ0IvI1I2
2π?d?l1?由Eef ＞Ehg 可知，线框中的电动势方向为efgh．
解2 设顺时针方向为线框回路的正向．根据分析，在任意位置处，穿过线框的磁通量为
Φ??相应电动势为
l10μ0Il2μ0Il2ξ?l1dx?ln
2π?x?ξ?2π?x?ξ?ξE?ξ???dΦμIvll?021 dt2πξ?ξ?l1?令ξ＝d，得线框在图示位置处的电动势为
E?μ0Ivl2l1
2πd?d?l1?由E ＞0 可知，线框中电动势方向为顺时针方向．
8 －19 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图（ａ）所示，共有N 匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L．
分析 如同电容一样，自感和互感都是与回路系统自身性质（如形状、匝数、介质等）有关的量．求自感L 的方法有两种：1．设有电流I 通过线圈，计算磁场穿过自身回路的总磁通量，再用公式L?Φ计算L．2．让回路中通以变化率已知的电流，测出回路中的感应电动IdIEL计算L．式中EL 和都较容易通过实验测定，所以此方法一般
dtdI/dt势EL ，由公式L?适合于工程中．此外，还可通过计算能量的方法求解．
解 用方法1 求解，设有电流I 通过线圈，线圈回路呈长方形，如图（ｂ）所示，由安培环路定理可求得在R1 ＜r ＜R2 范围内的磁场分布为
B?μ0NI 2πx由于线圈由N 匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为
ψ?N?B?dS?N?SR2R1μ0NIμ0N2hIR2hdx?ln 2πx2πR1则
ψμ0N2hR2L?ln
I2πR1若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为μr ，则自感将增大μr倍．
第九章 振动
9-1 一个质点作简谐运动，振幅为A，起始时刻质点的位移为?A，且向x 轴正方向2运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）
题９-１ 图
分析与解（b）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向Ox 轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b）．
9-2 已知某简谐运动的振动曲线如图（a）所示，则此简谐运动的运动方程为（ ）
22?2??2?A?x?2cos?????πt?πcm Cx?2cosπt?π??cm????3?3??3?3
4242????B?x?2cos??????cm?πt?πcm Dx?2cosπt?π????3?3??3?3
题９-２ 图
分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为 –A/2，且向x 轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为2π/3．振动曲线上给出质点从–A/2 处运动到+A 处所需时间为1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差Δ?1?4π/3，则
角频率ω?Δ/Δt??4π/3?s，故选（D）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找出正确答案．
9-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a） 所示， x1 的相位比x2 的相位（ ） （A） 落后
ππ （B）超前 （C）落后π （D）超前π 22分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b） 即可得到答案为（b）．
题９-３ 图
9-4 当质点以频率ν 作简谐运动时，它的动能的变化频率为（ ） （A）
v （B）v （C）2v （D）4v 21222分析与解 质点作简谐运动的动能表式为Ek?m?Asin??t???，可见其周期为
29-5 图（a）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余
简谐运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν的两倍．因而正确答案为（C）． 弦振动的初相位为（ ） （A）
31π （B）π （C）π （D）0
22Acos?ωt?π?．它们的振幅不2分析与解 由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差是?（即反相位）．运动方程分别为x1?Acos?t和x2?同．对于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b）很方便求得合运动方程为
x1?Acos?t．因而正确答案为（D）． 2
9-7 若简谐运动方程为x?0.10cos?20πt?0.25π??m?，求：（1） 振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）t?2s时的位移、速度和加速度．
分析 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式
x?Acos??t???作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速
度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果．
解 （1） 将x?0.10cos?20πt?0.25π??m?与x?Acos??t???比较后可得：振幅A ＝0.10m，角频率ω?20πs?1，初相?＝0.25π，则周期T?2π/ω?0.1s，频率
v?1/THz．
（２）t?2s时的位移、速度、加速度分别为
x?0.10cos?40πt?0.25π??7.07?10?2m v?dx/dt??2πsin?40π?0.25π???4.44m?s-1
a?d2x/d2t??40π2cos?40π?0.25π???2.79?102m?s-2
9-8 一远洋货轮，质量为m，浮在水面时其水平截面积为S．设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期．
分析 要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力F与位移x间的关系，如果满足F??kx，则货轮作简谐运动．通过F??kx即可求得振动周期T?2π/ω?2πm/k．
证 货轮处于平衡状态时［图（a）］，浮力大小为F ＝mg．当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O，竖直向下为x 轴正向，如图（b）所示．则当货轮向下偏移x 位移时，受合外力为
?F?P?F?
其中F?为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为
F??F??gSx?mg??gSx