题９-８ 图
则货轮所受合外力为
?F?P?F????gSx??kx
式中k??gS是一常数．这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动．
由
22F?mdx/dt可得货轮运动的微分方程为 ?d2x/d2t??gSx/m?0
令???gS/m，可得其振动周期为
2T?2π/ω?2πm/ρgS
9-12 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A＝2.0 ×10-2 m，周期T＝0.50ｓ．当t＝0 时，（1） 物体在正方向端点；（2） 物体在平衡位置、向负方向运动；（3） 物体在x ＝-1.0×10-2m 处， 向负方向运动； （4） 物体在x＝-1.0×10-2 m处，向正方向运动．求以上各种情况的运动方程．
分析 在振幅A 和周期T 已知的条件下，确定初相φ是求解简谐运动方程的关键．初相的确定通常有两种方法．（1） 解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t ＝0 时，x ＝x0 和v ＝v0 来确定φ值．（2） 旋转矢量法：如图（a）所示，将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x0 和速度v0 的方向与旋转矢量图相对应来确定φ．旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．
9-28 已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为
x1?0.05cos?10t?0.75π??m?；x2?0.06cos?10t?0.25π??m?．求：（1） 合振动的振
幅及初相；（2） 若有另一同方向、同频率的简谐运动x3?0.07cos?10t??3??m?，则?3为多少时，x1 ＋x3 的振幅最大？ 又?3 为多少时，x2 ＋x3 的振幅最小？
题9-28 图
分析 可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动
的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅A?2A12?A2?2A1A2cos??2??1?，
其大小与两个分振动的初相差?2??1相关．而合振动的初相位
??A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2?? ??arctan解 （1） 作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）．因为Δ振动振幅为
?2?1??π/2，故合
A?合振动初相位
2A12?A2?2A1A2cos??2??1??7.8?10?2m
??A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2????arctan?arctan11?1.48rad（2） 要使x1 ＋x3 振幅最大，即两振动同相，则由Δ3
?2kπ得
?1?2kπ?2kπ?0.75π,k?0,?1,?2,...
要使x1 ＋x3 的振幅最小，即两振动反相，则由Δ??2k?1π?得
3?2??2k?1?π?2kπ?1.25π,k?0,?1,?2,...
题9-12 图
解 由题给条件知A ＝2.0 ×10-2 m，ω?2/T?4πs?1，而初相φ可采用分析中的两种不同方法来求．
解析法：根据简谐运动方程x?Aco?s?t???，当t?0时有x0?Aco?s?t???，
v0??Aωsin．当（1）x0?A时，cos?1?1，则?1?0；
ππ???，因，取； v?022022ππ（3）x0?1.0?10?2m时，cos?3?0.5，3?? ，由v0?0，取3?；
33π4π（4）x0??1.0?10?2m时，cos?4??0.5，4?π? ，由v0?0，取4?．
33（2）x0?0时，cos?2?0，
旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b）所示，它们所对应的初相分别为?1?0，
2?π，23?π，34?4π． 3振幅A、角频率ω、初相φ均确定后，则各相应状态下的运动方程为 （1）x?2.0?10?2cos4πt?m?
?m? ?m? ?m?
（2）x?2.0?10（3）x?2.0?10?2cos?4πt?π/2?cos?4πt?π/3??2（4）x?2.0?10cos?4πt?4π/3??2第十章 波 动
10-1 图（a）表示t ＝0 时的简谐波的波形图，波沿x 轴正方向传播，图（b）为一质点的振动曲线．则图（a）中所表示的x ＝0 处振动的初相位与图（b）所表示的振动的初相位分别为（ ）
题10-1 图
ππ （Ｃ） 均为? 22ππππ（Ｄ） 与? （Ｅ） ?与
2222（Ａ） 均为零 （Ｂ） 均为
分析与解 本题给了两个很相似的曲线图，但本质却完全不同．求解本题要弄清振动图和波形图不同的物理意义．图（a）描述的是连续介质中沿波线上许许多多质点振动在t 时刻的位移状态．其中原点处质点位移为零，其运动方向由图中波形状态和波的传播方向可以知道是沿y 轴负向，利用旋转矢量法可以方便的求出该质点振动的初相位为π/2．而图（b）是一个质点的振动曲线图，该质点在t ＝0 时位移为0，t ＞0 时，由曲线形状可知，质点向y 轴正向运动，故由旋转矢量法可判知初相位为－π/2，答案为（D）．
10-2 机械波的表达式为y?0.05cos?6πt?0.06πx??m?，则（ ） （Ａ） 波长为100 ｍ （Ｂ） 波速为10 ｍ·ｓ-1 （Ｃ） 周期为1/3 ｓ （Ｄ） 波沿x 轴正方向传播 分析与解 波动方程的一般表式为y?Acos???t??????x?????，其中A 为振幅，φ为初相，u??u 为波速．x/u 前的“-”表示波沿x 轴正向传播，“+”表示波沿x轴负向传播．因此将原式写为y?0.05cos?6π?t?x/100???m?和一般式比较可知（Ｂ）、（Ｄ） 均不对．而由ω＝2π/T ＝6πｓ-1 可知T ＝（1/3）ｓ．则λ＝uT ＝33.3 m，因此（Ａ）也不对．只有（Ｃ）正确．
10-3 一平面简谐波，沿x 轴负方向传播，角频率为ω，波速为u．设t?形如图（a）所示，则该波的表达式为（ ）
T时刻的波4???x????x??A?y?Acos????t???By?Acos???????t??????u????u?2?????x???x???C?y?Acos????t??By?Acos?t?????????????u?2???u?
题10-3 图
分析与解 因为波沿x 轴负向传播，由上题分析知（Ａ）、（B）表式不正确．找出（C）、（D）哪个是正确答案，可以有很多方法．这里给出两个常用方法．方法一：直接将t ＝T/4，x＝0 代入方程，那么对（C）有y0 ＝A、对（D）有y0 ＝0，可见（D）的结果与图一致．方法二：用旋转矢量法求出波动方程的初相位．由图（a）可以知道t ＝T/4 时原点处质点的位移为0，且向y 轴正向运动，则此时刻的旋转矢量图如图（b）所示．要求初相位，只要将该时刻的旋转矢量反转（顺时针转）Δφ＝ω·Δt ＝ω·T/4 ＝π/2，如图（b）所示，即得φ0 ＝π．同样得（D）是正确答案．
题10-4 图
10-4 如图所示，两列波长为λ的相干波在点P 相遇．波在点S1 振动的初相是φ1 ，点S1 到点P的距离是r1 ．波在点S2的初相是φ2 ，点S2 到点P 的距离是r2 ，以k 代表零或正、负整数，则点P 是干涉极大的条件为（ ）
?A?r2?r1?k??A??2??1?2k?
?A??2??1?2??r2?r1?/??2k??A??2??1?2??r1?r2?/??2k?分析与解 P 是干涉极大的条件为两分振动的相位差Δ时的两分振动相位差为Δ?2?2kπ，而两列波传到P 点
?1?2π?r2?r1?/λ，故选项（D）正确．
10-5 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动（ ） （A） 振幅相同，相位相同 （B） 振幅不同，相位相同 （C） 振幅相同，相位不同 （D） 振幅不同，相位不同
分析与解 驻波方程为y?2Acos2πxcos2πvt，因此根λ据其特点，两波节间各点运动同相位，但振幅不同．因此正确答案为（B）．