全国硕士研究生入学统一考试
（C）0.3 （D）0.4
（8）设X1,X2,X3为来自正态总体N(0,?2)的简单随机样本，则统计量分布为
（A）F（1,1） （B）F（2,1） （C）t(1） （D）t(2)
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）设某商品的需求函数为Q?40?2P（P为商品价格），则该商品的边际收益为_________。
(10)设D是由曲线xy?1?0与直线y?x?0及y=2围成的有界区域，则D的面积为_________。 (11)设
X1?X2服从的2X3?a0xe2xdx?11，则a?_____. 4122ex (12)二次积分?dy?(?ey)dx?________.
0yx22（13）设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围
是_________
（14）设总体X?2x?的概率密度为f(x;?)??3?2??0??x?2?其它2，其中?是未知参数,
若cX1,X2,...,Xn,为来自总体X的简单样本，
?xi?1ni 是?的无偏估计，则c = _________
2三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
?求极限limx???x1?2?1??t?t?e?1??t?dt??????
1x2ln(1?)x（16）（本题满分10分）
生命不息 - 6 - 奋斗不止
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xsin(?x2?y2)dxdy. 设平面区域D?{(x,y)|1?x?y?4,x?0,y?0}，计算??x?yD22（17）（本题满分10分）
?2z?2zx2x设函数f(u)具有2阶连续导数，z?f(ecosy)满足2?2?4(z?ecosy)e，若
?x?yxf(0)?0,f'(0)?0，求f(u)的表达式。
（18）（本题满分10分）
?求幂级数
?(n?1)(n?3)xn?0n的收敛域及和函数。
（19）（本题满分10分）
设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，0?g(x)?1，证明： （I）0?（II）
?xabg(t)dt?x?a,x?[a,b];
?a?a?ag(t)dtf(x)dx?bf(x)g(x)dx. ?a?1?23?4???（20）（本题满分11分）设A??01?11?，E为3阶单位矩阵。
?120?3??? ①求方程组Ax?0的一个基础解系； ②求满足AB?E的所有矩阵B
?1?1（21）（本题满分11分）证明n阶矩阵?????1（22）（本题满分11分）
1?1??0??1?1??0与???????1?1??00?1??0?2?相似。
????0?n?设随机变量X的概率分布为P{X=1}=P{X=2}=从均匀分布U(0,i)(i?1,2) （1）求Y的分布函数FY(y) （2）求EY
1，在给定X?i的条件下，随机变量Y服2生命不息 - 7 - 奋斗不止
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（23）（本题满分11分）
设随机变量X与Y的概率分布相同，X的概率分布为P{X?0}?Y的相关系数?XY?12,P{X?1}?,且X与331 2（1） 求（X，Y）的概率分布
（2）求P{X+Y?1}
文都首发2013硕士研究生入学考试数学三真题
来源：文都教育
1. 当x?0时，用“o（x）”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是
23
A. x·o（x）=o(x) B.o(x)·o(x2)=o(x3) C.o(x2)+o(x2)= o(x2) D.o(x)+ o(x2)= o(x2)
x?12. 函数f(x)=的可去间断点的个数为
x(x?1)lnxxA.0 B.1 C.2 D.3
3. 设Dk是圆域D={(x,y)|x2+y2≤1}位于第k象限的部分，记Ik=??(y?x)dxdyDk（k=1,2,3,4），则
A.I1>0, B. I2>0, C. I3>0, B. I4>0 4. 设｛an｝为正项数列，下列选项正确的是 A. 若an > an+1, 则?(?1)n?1an收敛
n?1?B. 若?(?1)n?1an收敛，则an>an+1
n?1??C. 若?an收敛，则存在常数p>1，使lim npan存在
n?1n??D. 若存在常数p>1，使lim nan存在,则?an收敛
p
n???n?15. 设A,B,C均为n阶短阵，若AB=C,且B可逆，则 A. 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B. 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C. 矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 D. 矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价
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?1a1??200?????
6. 矩阵?aba?与?0b0?相似的充分必要条件为（ ）
?1a1??000?????
A. a=0,b=2 B. a=0,b为任意常数
C. a=2,b=0 D. a=2,b为任意常数
7. 设x1, x2, x3是随机变量，且x1~N(0,1),x2~N(0,22),x3~N(5,32),Pj=P{-2≤xj≤2}(j=1,2,3),则A.P1>P2>P3 B.P2>P1>P3 C.P3>P1>P2 D.P1>P3>P2
8. 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为 X 0 1 2 3 111Y 1 2488Y -1 0 1 11P 1 333则P{X+Y=2}= 1111A. B. C. D.
86212?n?9. 设曲线y=f(x)与y=x2-x在点（1，0）处有公共切线，则limnf??= . n???n?2?10. 设函数z=z(x,y)由方程（z+y）x=xy确定，则
???z= . ?x(1,2)11.?1lnxdx= . (1?x)21y?0的通解为y= . 413. 设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+ Aij=0(i，j=1,2,3)，则｜A｜= .
12. 微分方程y???y??14. 设随机变量X服从标准正态分布N（0，1），则E(Xe2X) = . 三、解答题
15.当x?0时，1?cosx,cos2x,cos3x与axn为等价无穷小，求n与a的值。 16.设D是由曲线y?x，直线x?a(a?0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy?10Vx，求a的值。 17.设平面区域D由直线x?3y,y?3x及x?y?8围成，计算??x2dxdy。
D1318.设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为
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Q,(P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件)，已知产销平衡，求： 1000（1）该商品的边际利润；
（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义； （3）使得利润最大的定价P。 P?60?19.设函数f(x)在[0,??)上可导，f(0)?0，且limf(x)?2，证明
x??（1）存在a?0，使得f(a)?1；
（2）对（1）中的a，存在??(0,a)，使得f?(?)?1。 a?1a??01?20. 设A??,B????，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并
101b????求所有矩阵C。
?a1???21. 设二次型f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)2?(b1x1?b2x2?b3x3)2，记???a2?，
?a??3??b1?????b?2?。
?b??3?（1） 证明二次型f对应的矩阵为2??T???T；
2（2） 若?,?正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12?y2。
?3x3,0?x?1,22.设（X,Y）是二维随机变量，X的边缘概率密度为fX(x)??在
其他?0,?3y2,0?x?1,?给定X?x(0?x?1)的条件下，Y的条件概率密度为fYX(yx)??x3
?0,其他?（1）求(X,Y)的概率密度f(x,y)； （2）求Y的边缘概率密度fY(y)。 （3）求P{X?2Y}.
??2???3ex,x?0,23. 设总体X的概率密度为f(x;?)??x其中?为未知参数且大于
?0,其他?生命不息 - 10 - 奋斗不
止