全国硕士研究生入学统一考试
xt(9) 设f(x)?limx(1?3t)，则f'(x)?______.
t?0x(10) 设函数z?(1?)y，则dz|(1,1)?______.
y(11) 曲线tan(x?y?(12) 曲线y?的体积______.
(13) 设二次型f(X1,X2,X3)?xTAx的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下x?Qy的标准型为______.
(14) 设二维随机变量(X,Y)服从N(?,?;?2,?2;0)，则E(XY2)?______. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分) 求极限limx?0x?4)?ey在点(0,0)处的切线方程为______.
x2?1，直线x?2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体
1?2sinx?x?1.
xln(1?x)(16) (本题满分10分)
已知函数f(u,v)具有连续的二阶偏导数，f(1,1)?2是f(u,v)的极值，
?2z|(1,1). z?f?(x?y),f(x,?。求y)?x?y(17) (本题满分10分) 求
arcsinx?lnxdx ?x(18) (本题满分10分) 证明4arctanx?x?4??3?0恰有2实根。 3(19) (本题满分10分)
f(x)在?0,1?有连续的导数，f(0)?1，且
??fDt'(x?y)dxdy???ft(dxdy)，
DtDt?{(x,y)|0?x?t,0?y?t,0?x?y?t}(0?t?1)，求f(x)的表达式。
生命不息 - 16 - 奋斗不
止
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(20) (本题满分11分)
TTTT设3维向量组?1?，?2?，?3?不能由?1?，（1,0,1）（0,1,1）（1,3,5）（1,a,1）TT，?3?线性标出。 ?2?（1,2,3）（1,3,5）求：(Ⅰ)求a；
(Ⅱ)将?1，?2，?3由?1，?2，?3线性表出. (21) (本题满分11分)
?11???11?????已知A为三阶实矩阵，R(A)?2，且A?00???00?，
??11??11?????求：(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求A (22) (本题满分11分) 已知X，Y的概率分布如下：
X P 0 1 Y -1 P 1/3 0 1/3 1 1/3 1/3 2/3 且P(X2?Y2)?1，
求：(Ⅰ)(X，Y)的分布；
(Ⅱ)Z?XY的分布； (Ⅲ)?XY. (23) (本题满分11分)
设(X,Y)在G上服从均匀分布，G由x?求：(Ⅰ)边缘密度
(Ⅱ)
2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
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y?0，x?y?2与y?0围成。
fX(x)；
fX|Y(x|y)。
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一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 若lim??(?a)ex??1，则a等于
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
(2) 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y'?p(x)y?q(x)x的两个特解，若常数?，
?1x?0x?1x??u使?y1?uy2是该方程的解，?y1?uy2是该方程对应的齐次方程的解，则（）
1111，?? （B）???，??? 22222122（C）??，?? （D）??，??
3333（A）??(3) 设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且g(x)?0。若g(x0)=a是g(x)的极值，则
\f?g(x)?在x0取极大值的一个充分条件是（）
（A）f'(a)?0 （B）f'(a)?0 （C）f\(a)?0 （D）f\(a)?0
(4) 设f(x)?lnx，g(x)?x,h(x)?e,则当x充分大时有（） （A）g(x)?h(x)?f(x) （B）h(x)?g(x)?f(x) （C）f(x)?g(x)?h(x) （D）g(x)?f(x)?h(x)
(5) 设向量组Ⅰ：?1，?2，??r可由向量组Ⅱ：?1，?2，??s线性表示，下列命题正确的是
（A）若向量组Ⅰ线性无关，则r?s （B）若向量组Ⅰ线性相关，则r?s （C）若向量组Ⅱ线性无关，则r?s （D）若向量组Ⅱ线性相关，则r?s
2(6) 设A为4阶实对称矩阵，且A?A?0,若A的秩为3，则A相似于
10x10?1??1??1??1?? （B）?? （A）???1??1?????00????生命不息 - 18 - 奋斗不
止
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?1???1???1????1? （D）?? （C）????1??1?????00?????0?1?(7) 设随机变量的分布函数F(x)???2?x??1?e（A）0 （B）
x?00?x?1，则P?X?1?? x?111?1 （C）?e （D）1?e?1
22(8) 设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为??1,3?上的均匀分布的概率密度，若f(x)???af1(x)x?0(a?0,b?0)为概率密度，则a,b应满足
?bf2(x)x?0（A）2a?3b?4 （B）3a?2b?4 （C）a?b?1 （D）a?b?2
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设可导函数y?y(x)由方程
?x?y0e?tdt??xsint2dt确定，则
02xdydx?______.
x?0(10) 设位于曲线y?1x(1?lnx)2x轴上方的无界区域为G,则G(e?x???)下方，
绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是______.
3(11) 设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1?p，其中p为价格，且R(1)?1，
则R(p)?______.
(12) 若曲线y?x?ax?bx?1有拐点(?1,0),则b?______.
?1?1(13) 设A，B为3阶矩阵，且A?3，B?2，A?B?2，则A?B?______.
32(14) 设x1，x2，xn为来自整体N(?,?)(??0)的简单随机样本，记统计量
21n2T??Xi，则ET?______.
ni?1生命不息 - 19 - 奋斗不止
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三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分) 求极限lim(x?1)x???1x1lnx
(16) (本题满分10分) 计算二重积分
23Dx?1?y，其中由曲线与直线x?2y?0及(x?y)dxdy??Dx?2y?0围成。
(17) (本题满分10分)
求函数u?xy?2yz在约束条件x2?y2?z2?10下的最大值和最小值 (18) (本题满分10分) （Ⅰ）比较
?10lnt?ln(1?t)?dt与?tnlntdt(n?1,2,?)的大小，说明理由
0n1（Ⅱ）设un??10lnt?ln(1?t)?dt(n?1,2,?)，求极限limun
n??n(19) (本题满分10分) 设函数f(x)在
2?0,3?上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且
2f(0)??f(x)dx?f(2)+f(3)，
0（Ⅰ）证明：存在??(0,2)，使f(?)?f(0) （Ⅱ）证明：存在??(0,3)，使f(?)?0 (20) (本题满分11分)
\11????a?????设A?0??10，b?1 ??????1???1??1??已知线性方程组Ax?b存在2个不同的解 （Ⅰ）求?，a
（Ⅱ）求方程组Ax?b的通解 (21) (本题满分11分)
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