全国硕士研究生入学统一考试
零，X1,X2，?,Xn为来自总体X的简单随机样本。 （1） 求?的矩估计量；
（2） 求?的最大似然估计量。
2012考研试题
1)
曲
线
x2?xy?2x?1渐近线的条数
( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数y(x)?( )
(A) (?1)n?1(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D)
xx其中(e?12)e(??2)nex?(,n)n为正整数,则y?(0)?
(?1)nn!
(3) 如果函数f(x,y)在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )
(A) 若极限limx?0y?0f(x,y)存在,则f(x,y)在(0,0)处可微
x?y(B) 若极限limf(x,y)存在,则f(x,y)在(0,0)处可微
x?0x2?y2y?0f(x,y)存在
x?y(C) 若f(x,y)在(0,0)处可微,则 极限limx?0y?0(D) 若f(x,y)在(0,0)处可微,则 极限limk?f(x,y)存在
x?0x2?y2y?0(4)设IK??exsinxdx(k?1,2,3)则有 ( )
02(A)I1?I2?I3 (B) I3?I2?I1 (C) I2?I3?I1 (D)I2?I1?I3
?0??1???1??0?????????(5)设?1??0?,?2??1? ,?3???1? ,?4??1? ,其中C1,C2,C3,C4为任意常数，则下
?C??C??C??C??2??3??4??1?列向量组线性相关的为( )
(A)?1,?2,?3 (B) ?1,?2,?4 (C)?1,?3,?4 (D)?2,?3,?4
生命不息 - 11 - 奋斗不
止
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?100???(6) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且p?1AP??010?.若P=（?1,?2,?3），
?002??????(1???2,?2,3)，则Q?1AQ? ( )
?100??100??200??200?????????(A) ?020?(B) ?010?(C) ?010?(D)?020?
?001??002??002??001?????????
(7)设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则
p?X?Y??( )
(A)
1241 (B) (C) (D) 5553(8)将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为
( )
(A) 1 (B)
11 (C) ? (D)?1 22二、填空题：9?14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9)若函数f(x)满足方程f''(x)?f'(x)?2f(x)?0及f''(x)?f(x)?2e，则f(x)? (10)
?20x2x?x2dx=
z(11)grad(xy+)|(2,1,1)?
y(12)设????x,y,z?x?y?z?1,x?0,y?0,z?0?，则??yds?
2?(13)设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E?XX的秩为 (14)设A,B,C是随机变量，A与C互不相容，p?AB??T11,P?C??,pABC? 23??三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.
(15)
1?xx2?cosx?1?(?1?x?1) 证明xln1?x2(16)
求函数f(x,y)?xe?x2?y22的极值
(17)
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4n2?4n?32n求幂级数x的收敛域及和函数
2n?1n?0??(18)
?x?f(t),已知曲线L:??y?cost(0?t??2),其中函数f(t)具有连续导数，且
f(0)?0,f'(t)?0(0?t?).若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数
2f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。
(19)
已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2+y2?2x到点(2,0)，再沿圆周x2+y2?4到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分J???L3x2ydx?(x3?x?2y)dy
(20)(本题满分 分)
?1a00??1????01a0??,????1? 设A???0??001a??????a001??0?（I）计算行列式A;
(II)当实数a为何值时，方程组Ax??有无穷多解，并求其通解。 (21)
?1?0已知A????1??001?11??，二次型f(x,x,x)?xT(ATA)x的秩为2
1230a??a?1?（1）求实数a的值；
（2）求正交变换x?Qy将f化为标准型. （22）
设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为 0 1 0 2 0 1 2 （Ⅰ）求P?X?2Y?；
1 4 0 1 4 0 1 3 0 1 121 12生命不息 - 13 - 奋斗不止
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（Ⅱ）求Cov(X?Y,Y).
(23)
设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(u,?2)与N(u,2?2)，其中?是未知参数且??0。设Z?X?Y. (1)求Z的概率密度f(z,?2);
?（2）设z1,z2,?,zn为来自总体Z的简单随机样本，求?2的最大似然估计量?2
?
（3）证明?2为?2的无偏估计量
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数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1) 已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与是cx等价无穷小，则
(A) k?1,c?4 (B) k?1,c??4 (C) k?3,c?4 (D) k?3,c??4
kx2f(x)?2f(x3)? (2) 已知f(x)在x?0处可导，且f(0)?0,则lim3x?0x(A) ?2f'(0) (B) ?f'(0) (C) f'(0) (D) 0 (3) 设?un?是数列，则下列命题正确的是
(A) 若
?un?1??n收敛，则
?(un?1?2n?1?u2n)收敛
?(B) 若
?(un?1?2n?1?u2n)收敛，则?un收敛
n?1(C) 若
?un?1?n收敛，则
?(un?1?2n?1?u2n)收敛
? (D) 若
?(un?12n?1?u2n)收敛，则?un收敛
n?1生命不息 - 14 - 奋斗不
止
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??40?0(4) 设I?小关系是
?40ln(sinx)dx,J??ln(cotx)dx,K??4ln(cosx)dx 则I,J,K的大
(A) I?J?K (B) I?K?J (C) J?I?K (D) K?J?I (5) 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3
?100??100?????10?，P2??001?，则A? 行得单位矩阵记为P1??1?001??010??????1?1(A)PP12 (B)P2P1 (D) P1P2 (C)P2P1
(6) 设A为4?3矩阵,?1, ?2 , ?3 是非齐次线性方程组Ax??的3个线性无关的解，k1,k2为任意常数，则Ax??的通解为
(A)
?2??32???3?k2(?2??1) (B) 22???3?k1(?3??1)?k2(?2??1) (C) 22???3?k2(?2??1)?k3(?3??1) (D) 22(7) 设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x), f1(x)是连续函数，则必为概率密度的是
(A) f1(x)f2(x) (B)2f2(x)F1(x)
(C) f1(x)F2(x) (D) f1(x)F2(x)?f2(x)F1(x)
(8) 设总体X服从参数?(??0)的泊松分布，X1,X1,?Xn(n?2)为来自总体的简
?k1(?2??1)
1n?111n单随即样本，则对应的统计量T1??Xi，T2?Xi?Xn ?n?1i?1nni?1(A)ET1?ET2,DT1?DT2 (B)ET1?ET2,DT1?DT2 (C)ET1?ET2,DT1?DT2 (D) ET1?ET2,DT1?DT2
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
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