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2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
2
?b?b2?4ac?b?b2?4ac x1?，x2?，
2a2a则有
?b?b2?4ac?b?b2?4ac?2bb x1?x2?????；
2a2a2aa2?b?b2?4ac?b?b2?4acb2?(b?4ac)4acc x1x2????2?．
2a2a4a24aa
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝?bc，x1·x2＝．这一aa关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
2
所以，方程x＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程2
x＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． 例2 已知方程5x?kx?6?0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
例3 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
1
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例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）求
11的值；（3）x13＋x23． ?22x1x2
例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．
练 习 1．选择题：
（1）方程x?23kx?3k?0的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ） （A）m＜
（C）m＜2．填空:
（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则
2211 （B）m＞－ 4411，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0 4411?＝ ． x1x2
（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ． （
3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3．已知a2?8a?16?|b?1|?0，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？
4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．
2．2 二次函数
2
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2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图 （1）y?x2 (2) y??x2 (3) y?x2?2x?3
问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝
象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x x2 2x2 … … … －3 9 18 －2 4 8 －1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 4 8 3 9 18 … … 12
x，y＝－2x2的图象，通过这些函数图2从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝
图象与函数y＝x2的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以
22
作出函数y＝2(x＋1)＋1与y＝2x的图象（如图2－2所示），从函数的同
y 2
学我们不难发现，只要把函数y＝2x的图象向左平移一个单位，再向上平
y＝2(x＋1)2＋1 移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之
间具有“形状相同，位置不同”的特点．
y＝2(x＋1)2 类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们
y＝2x2 图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：
x －1 O b2b2bb222
由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋x)＋c＝a(x＋x＋2)＋c－
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x，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数2ab2b2?4ac)? ?a(x?， 2a4aa4a4a图2.2-2
所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得
到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
b4ac?b2,)，对称（1）当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为(?2a4a2
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bbb；当x＜?时，y随着x的增大而减小；当x＞?时，y随着x的2a2a2a4ac?b2b增大而增大；当x＝?时，函数取最小值y＝．
2a4ab4ac?b22
,)， （2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为(?2a4abbb对称轴为直线x＝－；当x＜?时，y随着x的增大而增大；当x＞?时，y随着
2a2a2a4ac?b2bx的增大而减小；当x＝?时，函数取最大值y＝．
2a4a轴为直线x＝－
上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在
今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题． 2y b4ac?by y b (?,)A 2x＝－ y＝2x 2a4a 2a O x O x
b4ac?b2b ,) A(?x＝－ O 2a4a2a 图2.2-4 图2.2-1 图2.2-3
例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示： 130 150 165 x /元 70 50 35 y/件
例3 把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值．
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y＝x2 x 初三升高一培训资料
例4 已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值． 练习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
（A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x
（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2 （ ） （A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．
（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x＝ 时，函数取最 值y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．
（1）y＝x2－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x2．
4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值： （1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．
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