nn = [0:N-1]; ntime = [-N/2:N/2-1];
g = (0.75).^abs(ntime); % signal g h = (-0.9).^ntime; % signal h GF = fft(g); HF = fft(h); x = g + i*h; XF = fft(x); XFstar = conj(XF);
XFstarmod = [XFstar(1) fliplr(XFstar(2:N))]; GF2 = 0.5*(XF + XFstarmod); HF2 = -i*0.5*(XF - XFstarmod); abs(max(GF-GF2)) abs(max(HF-HF2)) figure(1);clf; subplot(2,2,1);grid; plot(nn,real(GF));grid; title('Two N-point DFT''s'); xlabel('Frequency index k'); ylabel('Re\\{G[k]\\}'); subplot(2,2,2);
plot(nn,imag(GF));grid; title('Two N-point DFT''s'); xlabel('Frequency index k'); ylabel('Im\\{G[k]\\}'); subplot(2,2,3);grid; plot(nn,real(GF2));grid; title('Single N-point DFT'); xlabel('Frequency index k'); ylabel('Re\\{G[k]\\}'); subplot(2,2,4);
plot(nn,imag(GF2));grid; title('Single N-point DFT'); xlabel('Frequency index k'); ylabel('Im\\{G[k]\\}'); figure(2);clf; subplot(2,2,1);grid; plot(nn,real(HF));grid; title('Two N-point DFT''s'); xlabel('Freq index k'); ylabel('Re\\{H[k]\\}'); subplot(2,2,2);
plot(nn,imag(HF));grid; title('Two N-point DFT''s');
xlabel('Freq index k'); ylabel('Im\\{H[k]\\}'); subplot(2,2,3);grid; plot(nn,real(HF2));grid; title('Single N-point DFT'); xlabel('Freq index k'); ylabel('Re\\{H[k]\\}'); subplot(2,2,4);
plot(nn,imag(HF2));grid; title('Single N-point DFT'); xlabel('Freq index k'); ylabel('Im\\{H[k]\\}');
Two N-point DFT's-15x 10Two N-point DFT's102Re{G[k]}0-5-100100200Frequency index kSingle N-point DFT300Im{G[k]}510-10-9100200Frequency index k300101x 10Single N-point DFTRe{G[k]}0-5-100100200Frequency index k300Im{G[k]}50.50-0.5-10100200Frequency index k300
8x 10Two N-point DFT's646x 10Two N-point DFT'sRe{H[k]}42006Im{H[k]}100200Freq index k300620-2-406100200Freq index k3008x 10Single N-point DFT4x 10Single N-point DFTRe{H[k]}4200100200Freq index k300Im{H[k]}620-2-40100200Freq index k300
Q3.26 在函数circshift中，命令rem的作用是什么？
答：rem(x,y)是用y对x求余数函数。
Q3.27 解释函数circshift怎样实现圆周移位运算。
答：在输入序列x由M的位置开始被循环移位。如果M> 0，则circshift删除从矢量x最左边开始的M个元素和它们附加在右侧的剩余元素，以获得循环移位序列。如果如果M<0，则circshift首先通过x的长度来弥补M，即序列x最右边的长度的M样品从x中删除和所附在其余的M个样本的右侧，以获得循环移位序列。 Q3.28 在函数circshift中，运算符~=的作用是什么？ 答：~=是不等于的意思。
Q3.29 解释函数circonv怎样实现圆周卷积运算。
答：输入是两个长度都为L的向量x1和x2，它是非常有用的定期延长X2的函数。让x2p成为x2延长无限长的周期的序列。从概念上讲，在定点时间上通过时序交换后的x2p的长度L交换x2p序列和x2tr等于1的元素。然后元素1至L的输出向量y是通过取x1和获得的长度为L的sh矢量之间的内积得到通过循环右移的时间反转向量x2tr。对于输出样本Y[n]的1≤N≤L时，右循环移位的量为n-1个位置上。
Q3.36 运行程序P3.9并验证离散傅里叶变换的圆周卷积性质。
g1 = [1 2 3 4 5 6]; g2 = [1 -2 3 3 -2 1]; ycir = circonv(g1,g2);
disp('Result of circular convolution = ');disp(ycir) G1 = fft(g1); G2 = fft(g2); yc = real(ifft(G1.*G2));
disp('Result of IDFT of the DFT products = ');disp(yc)
Result of circular convolution = 12 28 14 0 16 14
Result of IDFT of the DFT products =
12 28 14 0 16 14
一个圆周卷积的DTF是DTF的逐点产物。
Q3.38 运行程序P3.10并验证线性卷积可通过圆周卷积得到。
g1 = [1 2 3 4 5];g2 = [2 2 0 1 1]; g1e = [g1 zeros(1,length(g2)-1)]; g2e = [g2 zeros(1,length(g1)-1)]; ylin = circonv (g1e,g2e);
disp('Linear convolution via circular convolution = ');disp(ylin); y = conv(g1, g2);
disp('Direct linear convolution = ');disp(y)
Linear convolution via circular convolution =
2 6 10 15 21 15 7 9 5
Direct linear convolution =
2 6 10 15 21 15 7 9 5
使用圆周卷积确实有可能得到线性卷积
Q3.40 编写一个MATLAB程序，对两个序列做离散傅里叶变换，已生成他们的线性卷积。用此程序验证Q3.38和Q3.39的结果 编写的MATLAB程序：
% Program Q3.40 g1 = [1 2 3 4 5]; g2 = [2 2 0 1 1];
g1e = [g1 zeros(1,length(g2)-1)]; g2e = [g2 zeros(1,length(g1)-1)]; G1EF = fft(g1e); G2EF = fft(g2e);
ylin = real(ifft(G1EF.*G2EF));
disp('Linear convolution via DFT = ');disp(ylin);
Linear convolution via DFT =
2.0000 6.0000 10.0000 15.0000 21.0000 15.0000 7.0000 9.0000 5.0000
Q3.46 使用程序P3.1在单位圆上求下面的z变换：
2?5z?1?9z?2?5z?3?3z?4 G(z)=
5?45z?1?2z?2?z?3?z?4
Q3.47 编写一个MATLAB程序，计算并显示零点和极点，计算并显示其因式形式，并产生z
?1的两个多项式之比的形式表示的z变换的极零点图。使用该程序，分析式(3.32)的z变换
G(z)。
编写的MATLAB程序：
% Program Q3_47 clf;
num = [2 5 9 5 3]; den = [5 45 2 1 1];
[z p k] = tf2zpk(num,den); disp('Zeros:'); disp(z);
disp('Poles:'); disp(p);
input('Hit
input('Hit
运行结果：
Zeros:
-1.0000 + 1.4142i -1.0000 - 1.4142i -0.2500 + 0.6614i -0.2500 - 0.6614i
Poles:
-8.9576 -0.2718 0.1147 + 0.2627i 0.1147 - 0.2627i
sos =
1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 9.2293 1.0000 0.5000 0.5000 1.0000 -0.2293 k =
0.4000
2.4344 0.0822