1?0?x?0?xx?0f?'(0)?lim?0f?'(0)?lim?1?x?0??x?0??x?x
11?x?0?2xcos?sinf??x???xx?x?0 ?1故f (x)在x=0处不可导。
11. (8分)设函数y?f(x)在(??,??)连续，在x?0时二阶可导，且其导函数
?x2cosf?(x)的图形如图.给出f(x)的极大值点、极小值点以及曲线y?f(x)的拐
点. y x a O
b c d 解：极大值点：x?ax?d 极小值点：x?b 拐点(0,f(0)),(c,f(c))
四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）
(x?2)2dx2?x(x?1)12. (9分)求不定积分 .
41?3(??)dx2?x?1解：原式=x(x?1)
=
4lnx?1?3lnx?1?cx?1
13. (9分)计算定积分
1?e1elnxdx.
e1解：原式=
?1??lnx?dx??lnxdxe1e
e?????xlnx?x???1??xlnx?x?1?2?2e
l1:
xyz?1x?1y?2z?3??l2:??123254,求过直线l1且平行于14. (9分)已知直线，
直线l2的平面方程. ???n解：?s1?s2?(1,2,3)?(2,5,4)?(?7,2,1)
取直线l1上一点M1(0,0,1) 于是所求平面方程为 ?7x?2y?(z?1)? 0)及y=0, x=1所围成的平面图形绕x15. (9分)过原点的抛物线y?ax (a?0
281?轴一周的体积为5. 求a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积.
5222xV???(ax)dx??a50解：
11?0?a25
?a2由已知得
5?81?25 故 a = 9 抛物线为：y?9x
1绕y轴一周所成的旋转体体积：
V??2?x?9x2dx?18?0x44109??2
五 综合题（每小题4分，共8分）
2F(x)?(x?1)f(x)，16. (4分)设其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)?0.
证明：存在?（1???2）使得F??(?)?0。
证明：由f(x)在[1，2]上二阶可导，故F (x)在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故F (1)=F (2) = 0
在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点x0,(1?x0?2)使F?(x0)?0
F?(x)?2(x?1)f(x)?(x?1)2f?(x)17. (4分).
得F?(1)?0
在[1，x0]上对F?(x)用罗尔定理，至少有点?(1???x0?2)F??(?)?0
解：（1）x?1为f(x)的最大值点。
f?(x)?(x?x2)sin2nx，当0?x?1，f?(x)?(x?x2)sin2nx?0；当x?1，f?(x)?(x?x2)sin2nx?0。f(1)为极大值，也为最大值。 （2）
f(x)??(t?t2)sin2ntdt?f(1)01100x
1(2n?2)(2n?3)
f(1)??(t?t2)sin2ntdt??(t?t2)t2ndt?高等数学上B（07）解答
一、 填空题：（共24分，每小题4分）
dy?222y?sin[sin(x)]1．，则dx2xcos[sin(x)]cosx。
??adx?????1?x22． 已知，a=__1______。
e?1elnxdx?2?2e。 3．
x4． y?e过原点的切线方程为y?ex。
f'(lnx)dxx?f(x)?ex5．已知，则=x?c。
6．a?
?392，b?2
32时，点(1,3)是曲线y?ax?bx的拐点。 二、计算下列各题：（共36分，每小题6分）
1．求y?(sinx)的导数。
cosxlnsinx)??ecosxlnsinx(?sinxlnsinx?cotxcosx) 解：y??(e2．求?解：?sinlnxdxcosx。
sinlnxdx?xsinlnx??coslnxdx?xsinlnx?xcoslnx??sinlnxdx
1(xsinlnx?xcoslnx)?C2 x?5?x2?1dx3．求。
??解：
x?51d(x2?1)5dx??dx??dx2222x?1x?1x?1
22 ?x?1?5ln|x?x?1|?C
x?x?0?e,f(x)??kx?0在点x?0处可导，则k为何值？ ??x?1,4．设
xkf??(0)?lim?limxk?1x?0?xx?0?解：
ex?1f??(0)?lim?1x?0?x k?1
111lim(????)222222n??n?1n?2n?n。 5．求极限
解：
111lim(????)222222n??n?1n?2n?nn1?lim?n??k?1n2?k2 n11?lim?n??k?1k2n1?2n
11??dx201?x =
21?ln(x?1?x)|0?ln(1?2)
?x?2y?z?1?0?2x?y?z?0??x?y?z?1?0(2,2,0)6．求过点且与两直线?和?x?y?z?0平行的平面
方程。
解：两直线的方向向量分别为s1?(1,2,?1)?(1,?1,1)?(1,?2,?3),s2?(2,?1,1)?(1,?1,1)?(0,?1,?1)，平面的法向量
n?(1,?2,?3)?(0,?1,?1)?(?1,1,?1)。
平面方程为x?y?z?0。
三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）
?x?Rcostd2y?21．设?y?Rsint，求dx。
dy??cottdx解：
d2y11??(?cott)??t2?RsintRsin3t dx02．求在[?1,2]上的最大值和最小值。
解：F?(x)?x(x?1)?0,x?0,x?1
F(x)??t(t?1)dt1x1F(0)?0,F(1)??t(t?1)dt??,06?1252F(?1)??t(t?1)dt??,F(2)??t(t?1)dt?0063
25? 最大值为3，最小值为6。
223．设y?y(x)由方程x(1?y)?ln(x?2y)?0确定，求y'(0)。 22解：方程x(1?y)?ln(x?2y)?0两边同时对x求导
2x?2y?(1?y2)?2xyy??2?0x?2y 1x?0,y?2代入上式 将
5y'(0?)8
224．求由y?x与y?x围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。
解：
V???(y?y4)dy01
3? 10
四、证明题：(共12分，每小题6分)
1．证明过双曲线xy?1任何一点之切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角
?形的面积为常数。
证明：双曲线xy?1上任何一点(x,y)的切线方程为
Y?y??1(X?x)2x
1(0,y?),(2x,0)x 切线与x轴、y轴的交点为
1s?x(y?)?2x故切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为
2．设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，证明：至少存在一点?使得
bf(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx?ab?
证明：令
F(x)??g(x)dx?f(x)dxxabx
F(a)?F(b)?0，由Rolle定理，存在一点??[a,b]，使F?(?)?0，即
f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx?a?
高等数学上解答（07）
一、单项选择题（每小题4分，共16分）
?|sinx|(???x???)是 A 。 1．f(x)?xcosxe（A）奇函数； （B）周期函数；（C）有界函数； （D）单调函数
22．当x?0时，f(x)?(1?cosx)ln(1?2x)与 B 是同阶无穷小量。
3452（A）x； （B）x； （C）x； （D）x
?x?2y?z?0?3．直线?x?y?2z?0与平面x?y?z?1的位置关系是 C 。 （A）直线在平面内；（B）平行； （C）垂直； （D）相交但不垂直。
??????????4．设有三非零向量a,b,c。若a?b?0, a?c?0，则b?c? A 。 （A）0； （B）-1； （C）1； （D）3
二、 填空题（每小题4分，共16分）
1．曲线y?lnx上一点P的切线经过原点(0,0)，点P的坐标为(e,1)。
tanx?x1lim2x?x?0x(e?1)3。 2．
y2e?6xy?x?1?0确定隐函数y?y(x)，则y?(0)? 0 。 3．方程
2y?x 、x?1与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为4．曲线
?5。
三、解下列各题（每小题6分，共30分）
t?sin2xtf(x)?lim()t???t1．已知，求f?(x)。
2t?sin2xtf(x)?lim()?e?sinxt???t解：