证：（1）令F(x)=f(x)-x,则f在[0,1]连续，在(0,1)可导， F（1/2）=f(1/2)-1/2>0
F(1)=f(1)-1=0-1<0,∴在(1/2,1)内至少有一点?，使F（? ）=0,即f (?)=?.。 (2) 证：
令G(x)?e??xF(x),G(?)?0,G(0)?0????0,??使得G?????0.??e???F(?)?e???F?????0得出F????＝?F(?)即f?(?)?1???f??????于是f???????f???????1一、 一、
选择题（每题4分，共16分）
lim(1?x)?1x?limxsin11．x?0x??x?（ D ）。
A、e； B、e?1； C、e?1； D、e?1?1
2．设f(x)?xlnx在x0处可导，且f?(x0)?2，则f(x0)?（ B A、0； B、e； C、1； D、e2。
3．若sin2x是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?（ D ）。A、xsin2x?cos2x?C； B、xsin2x?cos2x?C；
C、xsin2x?12cos2x?C1； D、xsin2x?2cos2x?C。
4．已知函数f(x)?x3?ax2?bx在x?1处取得极值?2，则（ B ）。A、a??3,b?0且x?1为函数f(x)的极小值点；
B、a?0,b??3且x?1为函数f(x)的极小值点； C、a??3,b?0且x?1为函数f(x)的极大值点； D、a?0,b??3且x?1为函数f(x)的极大值点。 二、填空题（每题5分，共20分）
1． limx1x?0ex?e?x?2。 1?x3dx?23322．
?x29(1?x)?C。
?2(sinx?cos3x3．???2)dx?421?x3。 4．设?,?,?,?为向量，k为实数。若||?||?1,||?||?1，???，
??2???,??k???，???，则k??12。
三、计算下列各题（每题9分，共45分）
1．求极限xlimx?0?x。
。 ）
解：
x?0?limx?limex?0?xxlnx?ex?0?limxlnx?elnxx?0?1xlim1limxx?0?1?ex2?1
d2y|xy2x?0e?e?xy?0y?y(x)dx2．函数由方程确定，求。
ex?ey?xy?0?ex?eyy??y?xy??0xyy2解：?e?ey???ey??y??y??xy???0
d2y|??22x?0?x?0,y?0y?1dx 又，，得。
?3．求定积分
解
11221?x2dxx2。
：
??x?st1?x2?2222dx?cottdt?(csct?1)dt?1?2?2????x24 444．求过点(3,1,2)且与平面x?2z?1和y?3z?2平行的直线方程。
ijk?s?102?(?2,3,1)x?3y?1??z?201?3?23解：，。
?1?sinx, 0?x??f(x)??2x??(x)??f(t)dt?0, 其它05．设，求。
解：x?0，
?(x)??f(t)dt?00xx
1x1?(x)??f(t)dt??sintdt?(1?cosx)0202 0?x??， xx1??(x)??f(t)dt??sintdt??0dt?10?20x??，
四、（7分）长为l的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问
这两段铁丝各为多长时，正方形的面积与圆的面积之和最小？
解：设正方形的边长为x，则正方形的面积与圆的面积之和为
(l?4x2)S(x)?x?4?。 l?4x4l4llS?(x)?2x?2?0x?,l??4??时，正方4??。所以两段铁丝分别为4??，
形的面积与圆的面积之和最小。
2五、解答下列各题（每小题4分，共12分）
221．设曲线y?1?x (0?x?1)，x轴以及y轴所围区域被曲线y?ax(a?0)分成
面积相等的两部分，求a。 解：由
?1a?10(1?x?ax)dx??221a?10axdx??211a?1(1?x2)dx，a?3
2．设函数f(x)在[0,1]上连续，且0?f(x)?1。判断方程(0,1)内有几个实根？并证明你的结论。
2x??f(t)dt?10x在
解：
F(F(?x)02?x?01xf(?t)，d(x)t1F在
[0,1]上连续，
d1?x()0，所以F(x)在(0,1)内有一个零点。又
F?(x)?2?f(x)?2?1?1?0，F(x)在[0,1]上是单调递增的，所以F(x)在(0,1)内有唯一零点，即
0?)?F1,??(?f1)x2x??f(t)dt?10x在(0,1)内有唯一实根。
120f(1)?2?xf(x)dx?03、设函数f(x)在[0,1]上可导，且，求证在(0,1)内至少存
f(?)f?(?)???。 在一点?，使得
f(1)?2?解：F(x)?xf(x)，F(x)在[0,1]上可导。由
1f(1)?2cf(c)?02使得，即f(1)?cf(c)。由Roll定理，存在??(c,1)?(0,1)，使
f(?)f?(?)???。 得F?(?)?0，即
1201c?[0,]xf(x)dx?02，，存在
高等数学第一学期半期试题解答（05）
一． 1．
一． （共20分）试解下列各题：
设y?y?12x?1?x?1x?1?x?1,(x?1)求dy。
解：2．
?x?1?x?1?2dy???11?x?1?x?1?????dx?2x?12x?1?
dydx。
?设方程x?y?arctany?0确定了y?y(x),求1?y2y??y2
x3?ax2?x?4?A.。则a= 4 , A= -6 3．设limx?1x?114．函数y?x2x的极小值点?。
ln2x?cosx?2,x?05. 设f(x)??a?a?x(a?0) ?x,x?0y?1?y???021?y解：
a?a?x1?x?0?x2a
故a?1时x?0是连续点，a?1时x?0是间断点。解：f(0)?limlim二． 二． （10分）若y?f(x)是奇函数且x=0在可导,
是什么类型的间断点？说明理由。 解：由f(x)是奇函数，且在x?0可导，知f(x)在x?0点连续，f(0)??f(0)故f(0)?0F(x)?f(x)x在x=0
12cosx1?x?0?x?22f(x)?f?0??可去?。limF(x)?lim?f??0?存在,故为第一类间断点x?0x?0x?0三． 三． （共20分）求下列极限 1
1x
．
?1xx??limx21(3x?31x?1x?2)?1x；解
11：原式＝
3?3?2ln33?3lim?lim?x??x??211xx2?ln32?limln3(3x?3x)??ln3?2x??
2.x?0lim(1?2x)x22x?1?1?2x?2x??2ln?1?2x??；解：原式＝x?0lim?2x4x??1?2x??2?2?4
?x?t?2?sintd2y设曲线方程为??y?t?cost,求此曲线在x=2 的点处的切线方程,及dx2。3．
1?sint11解：x?2时y?1,t?0y??y?t?0?切线方程：y?1??x?2?1?cost22
sint?cost?1y????1?cost?3四．
22??(x?1)lnx?x?1x?0四． （10分）证明：当时，。
证明：当x?1时，令f(x)?lnx在[1,x]上用拉氏中值定理有lnx?其中1???x即lnx?1??x?1??1?x?1?x?11?x?1?同乘以x2?1有x2?1lnx??x?1?2x?111?1?x? 当0?x?1时，令f(x)?lnx在[x,1]上用拉氏中值定理有?lnx??1?x???x?11?x?1?同乘以x2?1有x2?1lnx??x?1?2其中x???1即lnx?x?1当x?1时等式成立。?????????x2五． 五． （10分）求内接于椭圆a三角形之面积的最大值。 解：
2y2b2?1，且底边与x轴平行的等腰
设底边方程为：y?t?b?t?0，t22a三角形面积A??b?t??2a1?2?bb设z??b?t?b2?t222?b?t?2?b2?t2?2?z???2?b?t??b?t2?z的最大值点也是A的最大值点。??2t?b?t???2?b?t??b?2t?2令z??0得t?b（舍去）t??b2b?b?z???????b2?0即t??为唯一极大值点，2?2?33ab4亦即为所求面积之最大值点。最大值为A?
nn?1??x2?x?1在（0，1）上必有六． （10分）证明：方程x?xlimxn唯一的实根xn(n>2)，并求n??。 证：
六．
设f(x)?xn?xn?1???x2?x?1其在[0,1]上连续。f(0)??1,f(1)?n?1由n?2知函数在端点异号。由闭区间上连续函数零点定理知至少有一点??(0,1)使f(?)?0.又f??nxn?1???2x?1?0知函数f(x)单调增加，故在(0,1)上有唯一实根。由xn?xnxn?1n?1nn?1???xn?xn?1n22?xn?1???xn?1?xn?1?15?15?1因此0?xn??1故由极限存在准则知其有极限，设极限22nxn1?xnx1由方程有?1两边n??取极限0?1解出x0?1?xn1?x021?acos2x?bcos4x七． 七． （10分）确定常数a、b,使极限lim存在，
x?0x4并求出其值。
解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有a+4b=0 解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限为8/3
八． 八． （10分）设f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，且 f (a) = f (b) =0,
证明：对???R,?c??a,b?，使得f??c???f?c?。
证明：构造函数F(x)=e-?x f (x) 则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微F (a) = F (b) =0由罗尔定理???R,?c??a,b?，使得F??c??0,而F??x??e??xf??x???e??xf?x? 即有???R,?c??a,b?，使得f??c???f?c? 证毕。 知?xn?是单调下降数列，而x2???