储庆昕高等电磁场讲义第四章资料 - 图文

================ 高等电磁场讲义 ? 第4讲 ============================ 褚庆昕 =========== 第4讲 能量、能流、电磁动量、张力张量 第一节 能量与能流密度矢量 我们说电磁场是作为一种物质形式存在的。衡量物质存在的一个标志是动量和能量，那么如何确定电磁场的动能量呢？通常我们对一种新的能量或动量形态的认识，总是通过它们与其他物质的相互作用来达到。本讲所讨论的就是通过电磁场与电荷系统的相互作用来认识电磁场的动量和能量的。 4.1 Lorentz力 电磁场与带电物质之间有着密切的联系。Maxwell方程反映了电荷和电流（运动的电荷）激发电磁场以及电磁场内部的运动规律，但是，却不能反映电磁场如何反作用于电荷系统。 Coulomb定律和Ampere定律反映了一定条件下场对电荷系统的作用。 Coulomb定律：静止的电荷q受到静电场的作用力 ?Ampere定律 ：恒定电流元Jdv受到磁场作用力 ???dF?J?Bdv 若电荷为连续分布，其密度为?，则电荷系统单位体积所受的力密度为 ????f??E?J?B Lorentz把上述结果推广为普遍情况下场对电荷系统的作用力，因此上式称为Lorentz力密度公式。 把上式用于速度为v，电荷为q的带电粒子，则粒子所受的电磁场作用力为 ????F?qE?v?B (4-1) 上式称为Lorentz力公式。 Lorentz假设这一公式适合任意运动的带电粒子。近代物理学的实践证明了这一假说是正确的。 ??F?qE ??4.2 电荷系统的动量和能量 根据作用力等于动量的时间变化率，有 ??式中Gp?mv为带电粒子的动量，由(4-1)和(4-2)，有 ???dvd?dGp (4-2) F?m??mv??dtdtdt?dGpdt????qE?v?B (4-3) ??另一方面，带电粒子的动能 Wp?????dWp?dGp????v??v?qE?qv?B?qE?v (4-4) 于是有 dtdt 11??mv2?mv?v 22?? 1 ================ 高等电磁场讲义 ? 第4讲 ============================ 褚庆昕 =========== ???对于电荷密度为，电流密度为J???v的连续分布电荷系统，式(4-3)和(4-4)变为 ?dgpdtdw??????E?J??B (4-5) ???J??E (4-6) dt?式中，gp,wp分别为动量密度和能量，即单位体积中的动量和能量。 ?dgpdwp?0，　?0，则表明电荷系统得到了动量和能量，而这些动 从(4-5)和(4-6)可以看出，若dtdt量和能量只能来自电磁场，所以根据动量守恒定律和能量守恒定律，我们可以得到结论：电磁场具有动量和能量。 4.2 时域Poynting定理 ?????? 利用矢量恒等式??a?b?b???a?a???b，有 ???????????E?H??H???E?E???H 将Maxwell旋度方程代入，可得 ??????B????D???E?H???H??E?J?E? ?t?t设媒质非色散，???u??0，则 ?t?t????1???????????E?H???E?J??H?B?E?D? (4-7) 2??t?t???????1??1?? wm? H?B，wf?we?wm，J?J??J? 其中， 令 S?E?H，we?E?D，　22??? we和wm分别为电场能量密度和磁场能量密度，J???E 为导电媒质中的传导电流，J?为外部电流源。 考虑到(4-6)，得 ??????S???wP?wf???E?E (4-8) ?t上式的积分形式为 ??2?ds???wP?wf?dv???Edv (4-9) ??S?n?tvsv?式中，wp为连续分布电荷系统的能量密度，wf为电磁场的能量密度，S为电磁场的能流密度矢量（功?2率密度矢量），称为Poynting矢量。?E为欧姆损耗功率密度。 式(4-9)表明，从闭合面s流入的功率等于s所包围的体积v内总能量（电荷系统的能量和电磁场能量之和）在单位时间内的增加量与v中的损耗功率之和。如果s面为理想导体面，则(4-9)左边的面积分为0，则v中的损耗功率等于总能量的减小率；如果??0，则电磁场能量与电荷系统能量相互转换；如果wp?0，则电场能量与磁场能量相互转换，即谐振。 2 ================ 高等电磁场讲义 ? 第4讲 ============================ 褚庆昕 =========== 4.3 频域Poynting定理 采用与上节类似的方法，可以得到 1????1?????1???1???????E?H???J?E?j2??H?B?E?D? （4-10） 24?2??4???1??1?????1E?H? , w?m?H??B, w?e?E?D? 令 s244得频域Poynting定理 ??????1J??E?j2??w?m?w?e? （4-11） ??s2 与时域比较，一个周期内的时间平均值为 ~?1T???1????? s??sdt?Re?E?H???Re?sT0?2?????~?1Twdt?Re?1H?m? w?B??Re?w?mm?0T?4?1T?1????~?e? we??wedt?Re?E?D??Re?wT04??? 各向同性媒质的无耗条件 设 ?????j???，?????j???，则耗能为 11?1?????1??ds?????E2dv?2????????E2????H2?dv ?Re???E?H??n224??4?s?v 储能为 ?Im1?1?????122?????E?H?nds?2??H??E????dv ?????244??s?v? 上式表明，进入封闭面s内的实功率（Poynting矢量的时间平均值）等于s面所包围的体积内由传导电流引起的热损耗与媒质中极化阻尼和磁化阻尼引起的损耗功率之和。（4-13）表明进入封闭面s内的虚功率与s面所包围的体积内磁场储能与电场储能时间平均值之差成正比。 媒质无耗时，耗能为零，所以媒质的无耗条件为 ??0，????0，????0 （4-14） 即 ?????0，????，???? Im?wm??0，　Im?we??0 （4-15） ? 各向异性媒质的无耗条件 ???D??E??H设 ??? （4-16） B??E??H?不失一般性，考虑无源区域，J?0，将上式代入（4-10）并取实部得 3 ================ 高等电磁场讲义 ? 第4讲 ============================ 褚庆昕 =========== ??????)?1Re[j?(E?D??B?H?)]Re(??s2??????????????1?Re[j?(E??E?E??H?H??E?H??H)]2 ??????1?j?[E??(???)E??H??(???)E2?????????E?(???)H?H?(???)H)]??)?0，所以，无耗条件为 对于无耗媒质，Re(??s???，　???，　??? ? Poynting定理的电路解释 考虑图4-1所示的RLC串联电路。 I L C R E 图4-1 RLC串联电路 流入电路的复功率为 ???P??1?11??IIZ?I?I?R?j?L??22j?c????1?1I?I??I?IR?j2??IIL?c?22? 24?c??4?11?1??I2R?j2??I2L?vc2c?24?4??m?w?e??PL?j2??w ? 场的互能量 电磁场的能量和能流不是场的线性函数，所以不满足叠加原理。例如，假设在各向同性非色散媒质中，同时存在两个电场E1和E2，于是，合成的电场能量密度为 ??we??????1?112?(E1?E2)?(E1?E2)??E12??E2??E1?E2 222上式的前两项为两个电场系统的自能量密度，交叉项则代表互能量密度。 4、4 关于能量的单位 我们知道能量的单位在国际单位制中为焦耳(J)。但是在通常讨论单色平面波时，能量还有许多单位，特别是当电磁波的频率很高时，比如讨论X射线或者γ射线时，此时的能量单位最为繁杂。温度T、波数k、频率f、工作波长λ、电压V、热能量(单位为卡，cal)、都可以作为能量的单位，单位物质的质量也是能量单位，比如每摩尔多少焦耳(J/mol)、每摩尔多少卡(cal/mol)。单个光子的能量等于普朗克常数h乘以频率f，或者等于约化普朗克常数?乘以角频率ω。这里的约化普朗克常数?等于普朗克常数h除于2π。在微观世界，单个光子的能量也是表征能量的单位。其中电子伏特（eV），绝对温标下的温度T，频率，角频率之间的换算关系由下列表达式给出： eV?kT?hf????RT/Na 上述公式中的k是玻耳兹曼常数（请读者注意，要区分开它和波数，尽管采用同一个字母，但是涉及的不是同一个量），Na是阿佛伽德罗常数，R是气体摩尔热容量常数。至于热量单位卡(cal)，在国际单位 4 ================ 高等电磁场讲义 ? 第4讲 ============================ 褚庆昕 =========== 制中，属于要淘汰的单位。但是鉴于许多微观物理领域的书籍至今还在使用，我们在这里给以简单介绍。 感兴趣并想进一步了解的读者可以查阅北大赵凯华院士的著作（赵凯华，《定性与半定量物理学》）。卡（cal）的定义有许多，最为常用的有三种。一个是15度卡，第二个是国际蒸汽表卡，第三个是热化学卡。三者的符号依次为cal15 、calIT、calth。它们与焦耳的换算关系为cal15?4.1855J、calIT?4.1868J、calth?4.184J。通常在近似计算时，一般选取cal?4.185J。一般而言，能量在微观领域有7种表征，依次为电子伏特、开、阿焦耳、千焦耳每摩尔、千卡每摩尔、拍赫兹和微米。它们的符号分别为eV、K、aJ、kJ/mol、kcal/mol、PHz和μm。近似的换算关系为： 1eV?0.86?10?4K?6.2aJ?0.0104kJ/mo?l0.044kca/lmo?l4.1PHz?1.24?m 上述表达式a(阿)与P(拍)，分别表示10的负18次幂和正15次幂。 第二节 动量流密度张量与张力张量 5．1 动量流张量 ?? 首先对D?B关于时间t求导数 ????D将Maxwell旋度方程 ??H?J? ?t?????D???B(D?B)??B?D? （5-1） ?t?t?t????以及本构关系D??E B??H代入，得 ?????????(D?B)?(??H)?B?J?B?D?(??E)?t ?????? =??H?(??H)?J?B??E?(??E) ???B ??E???t1??????a?(??a)??(a?a)?(a??)a 利用矢量公式 2?????????1(D?B)?J?B??[??(H?H)???(E?E)]?t2则 （5-2） ???? ??(H??)H??(E??)E?????利用张量公式 ?????(?I)，??(fg)?(??f)g?(f??)g,有 ?????(D?B)?J?B?t????1????????[(B?H?D?E)I?BH?DE] （5-3） ?2????(??B)H?(??D)E??代入Maxwell散度方程 ??D??, ??B?0,（5-3）变为 ??????????1????(D?B)?J?B??E????[(B?H?D?E)I?BH?DE]（5-4） ?t2 5