第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律 ?1. 设：直角坐标系中，标量场u?xy?yz?zx的梯度为A，则M（1，1，1）处 ?????2e?2e?2exyzA= ，??A? 0 。
??2?x(y?z)?e?y4xy?e?zxz，2. 已知矢量场A?e则在M（1，1，1）处??A? 9 。 ?3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A），则必须同时给定该场矢量
????A及 散度 ??A的 旋度 。
?????4. 写出线性和各项同性介质中场量D、E、B、H、J所满足的方程（结构方
??????程）： D ? ? E , B ? ? H , J ? ? E 。
????q??J?dS????J???5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 S t 。 ? t 和 ???6. 设理想导体的表面A的电场强度为E、磁场强度为B，则
??（a）E、B皆与A垂直。
（b）E与A垂直，B与A平行。
????（c）E与A平行，B与A垂直。
?? （d）E 、B皆与A平行。 答案：B
7. 两种不同的理想介质的交界面上，
????（A）E1?E2 , H1?H2
（B）E1n?E2n , H1n?H2n (C) E1t?E2t , H1t?H2t (D) E1t?E2t , H1n?H2n
答案：C
??yE0sin(ωt?βz) (V/m)，其中E0、ω、β为常数。则8. 设自由真空区域电场强度E?e?空间位移电流密度Jd（A/m2）为：
?yE0cos(ωt?βz) （b）e?yωE0cos(ωt?βz) （a）e 1
?yβE0cos(ωt?βz) 答案：C ?yω?0E0cos(ωt?βz) （d）?e（c）e?x?0cos9. 已知无限大空间的相对介电常数为?r?4，电场强度E?e?0、d为常数。则x?d处电荷体密度?为：
（a）???x (V/m)，其中2d4??04??0?02??02??0?0 （b）? （c）? （d）? 答案：d dddd10. 已知半径为R0球面内外为真空，电场强度分布为
?2?rcos??e??sin?) (r?R0)(?e???RE??0
?B(e?r2cos??e??sin?) (r?R0) 3??r 求（1）常数B；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电荷密度。
Sol. (1) 球面上
由边界条件 E1t?E2t得：
2B2 sin??3sin? ?B?2R0R0R06?0cos? R0（2）由边界条件D1n?D2n??s得：
?s??0(E1n?E2n)??0(E1r?E2r)?? （3）由??D??得：
? r ?R0)?)?0 (1?(r2Er)1?(E?sin??0?? ???0??E??02
0 ( r ?R) ?rrsin???r0?
即空间电荷只分布在球面上。
11. 已知半径为R0、磁导率为??的球体，其内外磁场强度分布为
?rcos??e??sin?) (r?R0)2(e???H??A
??(e2cos??esin?) (r?R) r?0??r3
且球外为真空。求（1）常数A；（2）球面上的面电流密度JS 大小。
Sol. 球面上（r=R0）：Hr为法向分量；H?为法向分量
（1）球面上由边界条件B1n?B2n得：?H1r??0H2r?A?（2）球面上由边界条件H1t?H2t?Js得
?3R0 ?0Js?(H1??H2?)|r?R0??(2??)sin??0 2
第3章 静电场及其边值问题的解法 ?????1. 静电场中电位??与电场强度E的关系为 E ? ? ；在两种不同的电介质（介电常数
?????1??2 ； ?11??22分别为ε1和ε2）的分界面上，电位满足的边界条件为 ? n ? n 。
2. 设无限大真空区域自由电荷体密度为ρ，则静电场：??E? 0 ，????E= ??????? 。
????22??E? ???? 3. 电位? 和电场强度E满足的泊松方程分别为 ? 、 ? 。 w4. 介电常数为? 的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为 m ? ? E 。
5. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 切向 分量及电位移的 法向 分量总是
连续的。
122??6. 如图，E1、E2分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度，?????????，?????30°，
??则??????????60°??????????，|E1||E2|? 3 。
?E1ε1ε2?θ2E2θ1
7. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度?s与电位沿其法向的方向导数
?????关系为 ? n s 。
???的?n8. 如图，两块位于x = 0 和 x = d处无限大导体平板的电位分别为0、U0，其内部充满体
密度???????????e x?d ) 的电荷（设内部介电常数为??）。（1）利用直接积分法计算0 < x < d
?区域的电位??及电场强度E；（2）x = 0处导体平板的表面电荷密度。
Sol. 为一维边值问题：???(x)
?1?0?2?U0??d2????? ?2??0(1?ex?d)
??0dx边界条件：?(x?0)?0， ?(x?d)?U0
2odx（1）直接积分得：
?0x?dx2U??(x)?(e??e?d)?[0?0(1?d2?e?d)]x?02d?0d
3
??U?d??x?x[0(ex?d?x)?0?0(1?d2?e?d)] E(x)??????e??edx?0d?0d?????????0???s得：?s???0?n?x?n
（2）由?
??0E(x)x?0
x?0
?0U01?d21???0[??e?d(1?)]
?0ddd9. 如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，内填空气。已知侧壁和底面的电位为零，而
顶盖的电位为V0 。写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。 Sol. （略）见教材第82页例3.6.1
10. 如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d处有一个点
电荷q0 。利用镜像法求z轴上z > a各点的电位分布。 Sol. 空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于：
无限大接地导体平面 + 接地导体球
边界条件：?平面??球面?0
z d q0z1q?1loz2q2a使?平面?0，引入镜像电荷：z???d,q???q0 使?球面?0，引入镜像电荷：
x
?a2az?,q??q01?1dd? ?22?z??a??a,q??aq??aq220?|z?|d|z?|d?z轴上z > a各点的电位：
q1q21?q0q????? ????
4??0?|z?d|z?z1z?z2z?d?q0 ?4??0?12a31????? 224|z?d|z?dzd?a??z?q?
11. 已知接地导体球半径为R0 ，在x轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷+q、-q ，
位置如图所示。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位；（3）x轴上x>2R0各点的电场强度。 Sol. (1) 引入两个镜像电荷：
R02RR0q?0 q1??q??，x1?2R022R022R0RR0q??0 q2??(?q)?，x2??2R022R02q2R0q1x?qR0?qR0x2ox1（2）?(x,y,z)?14??0?qq1q2q???????（略） ?RR?R2R??1?4
R?(x?2R0)2?y2?z2， R1?(x?R0/2)2?y2?z2 R2?(x?R0/2)2?y2?z2，R??(x?2R0)2?y2?z2
（3）x轴上x>2R0各点的电场强度：
???q?q/2q/2q?x?E?e??? 2222?(x?R0/2)(x?R0/2)(x?2R0)??(x?2R0)12. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q，求
（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。
Sol. （1）q1??q0，(?a, 0, 0)
q2??q0，(0, ?a, 0) q3??q0，(a, 0, 0)
?q0q1q2q3???R?R?R?R??
123??0 ?（略） 其中：
14??0
y q0 P?0,a,0? ? 45? 45 （2）?(x,y,z)?
(?a, 0, 0)q1(a, 0, 0)xq3
R0?x2?(y?a)2?z2
R1?(x?a)2?y2?z2 R2?x2?(y?a)2?z2
q2(0,?a, 0)R3?(x?a)2?y2?z2
5