第4章 恒定电场与恒定磁场
1. 线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于 0 ，净余电荷只能分布
在该导电媒质的 表面 上。
??2. 线性和各项同性的均匀导电媒质中，??J? 0 ；??D? 0 。
3. 在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度E和电流密度J的边界条件
t 、 J为： E 1 t ? E 2 1 n ? J 2 n 。
??4. 在电导率为??的导电媒质中，功率损耗密度pc与电场强度大小E的关系为 p c ? ? E 。
2?????B???A5. 恒定磁场的矢量磁位A与磁感应强度B的关系为 ；A所满足的泊松方程
??2为 ? A ? ? μ J 。
6. 对线性和各项同性磁介质（磁导率设为??），恒定磁场（磁场强度大小为H ）的磁能密
1212?HdV?H?度wm? ，V空间磁能Wm = 2 。
2V??22?xxy?e?yyx?e?zCxyz，C为常数，7. 已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：A?e且A??满足库仑规范。求（1）常数C ；（2）电流密度J；（3）磁感应强度B。 ?ay?ax?ax?az?az?ay??x(?y(?z(?)?e?)?e?) ） （直角坐标系中：??a?e?y?z?z?x?x?y??Ax?Ay?Az???2xy?2xy?Cxy?0?C??4 Sol. (1) 库仑规范：??A?0??x?y?z????xx2y?e?yy2x?e?z4xyz得： (2) 由?2A??μJ，A?e????2222???A1?A?A?A?1??x2y?e?y2x? ?eJ????????? 222??????x??y?z????x4xz?e?y4yz?e?z(y2?x2) (3) B???A??e8. (P.136. 习题4.2) 在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（?1,?1和
?2,?2），其厚度分别为d1和d2。若在两极板上加上恒定的电压U0。试求板间的电位
???、电场强度E、电流密度J以及各分界面上的自由电荷密度。
Sol. 用静电比拟法计算。用电介质（??和??）替代导电媒质，静电场场强分别设为E1、E2
?2U0???E??e (0?x?d1)1x??2d1??1d2?E1d1?E2d2?U0?? ????UD?D??E??E1021122?1?E??e?x (d1?x?d2)2??2d1??1d2? 6
????x 电位移：D1?D2??1E1??e?1?2U0
?2d1??1d2
?2U0?Ex?x (0?x?d1)?1?2d1??1d2???(x)??
?Ed?E(x?d)??1x?(?2??1)d1U (d?x?d)1121012??2d1??1d2????? J?D， σ?ε，???，则导电媒质中的恒定电场： 静电比拟： E?E ，
?2U0????1?d??dx (0?x?d1)?2112 ?
?x?(???)d211???1U0 (d1?x?d2)2??d??d2112??2U0???e?x?d??d (0?x?d1)??2112 E(x)??
?U10??e?x (d1?x?d2)??d??d2112???1?2U0?x J??e ?2d1??1d2?1?2U0???? ?sx?0???11???11??
?n?x?2d1??1d2?2?1U0????2? ?sx?d?d???22???2
12?n?(?x)?2d1??1d2 ?s
x?d1(????2?1)U0???????????????11??22????11??22??12
?n?x?d1??x?x?x?d1?2d1??1d2??nx?0可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等量异号?s才有电容定义。
???sx?d1?d2。只有理想电容器
9. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为a 、2a ，电导率为? 。
如图建立圆柱坐标，若电位?????U0（常量）及???0?0。求（1）导电媒质上电位分布
2?以及恒定电场的电场强度E；（2）该情况下导电媒质的直流电阻R 。
Sol. 由边界条件可知，导电媒质上电位?仅与坐标?有关，即???(?)
1d2??0 ? ??A??B （1）???0 ? 22?d?2ayP)?oa由?????U0及???0?0得：?(?)?22U0??
?2ax（第9题 图）
7
??????1??????2U01 ?e??ez??e?E??????e???????z?????2?U01（2）J??E??e?
??
2a??2a2?U012?aU0?(a?d?)?ln2 I??J?dS??J?(a?d?)??Saa???
直流电阻：R?U0? ?I2?aln210. 一横截面为正方形的扇形均匀导电媒质，其内、外半径分别为a 、2a ，电导率为? 。如图建立圆柱坐标，若电位??U0（常量）及???2a?0。求（1）导电媒质上电位分布
?以及导电媒质上恒定电场的电场强度E；（2）该情况下导电媒质的直流电阻R 。
??aSol. 由边界条件可知，导电媒质上电位?仅与坐标?有关，即???(?) （1）???0 ? 21d?du????0 ? ??Aln??B ?d??d???ay由???a?U0及???2aUU?0得：?(?)??0ln??0ln(2a)
ln2ln2P??????U01 ?e?E??????e???ln2?????U01（2）J??E?e?
ln2?
?)?oa2ax（第10题 图）
??????aU0)? I??J?dS?J?(a? 22ln2S 直流电阻：R?
U02ln2 ?I??a 8
第5章电磁波的辐射 1. 复数形式的麦克斯韦方程中两个旋度方程为 ， 。
?2. 坡印亭矢量S的瞬时表示式是 ，平均值是
?2??E23. 自由空间中时变电磁场的电场满足的波动方程为?E????0，这个方程在正弦2?t??2?2??E?kE?0。 电磁场的情况下变为
4. 在无损耗的均匀媒质??,??中，正弦电磁场的磁场满足的亥姆霍兹方程为
?????2H?k2H?0，其中 A 。
(A) k2??2?? (B) k2??2?2?2
?212(C) k? (D) k2?2
????B???A5. 在时变电磁场中，磁感应强度B与位的关系为， ?
?? ?A?E?????电场强度E与位的关系为 ?t.
6. 已知某一理想介质???4?0,??5?0,??0? 中））时谐电磁场的角频率为? ，位移电
??πy?j?z???E流复矢量为Jd?exJ0cose ，a、?、J0皆为常数。则电场强度复矢量为
aπyπy?j?z?J0?J（A）ex0cos （B）excose?j?z e
j4??0aj?aπyπy?j?z?J0?Jsine?j?z 答案：B （C）ex0sin （D）exe
j4??0aj?a
7. 电偶极子天线的功率分布与?的关系为 a 。
?????(a) sin2? (b) sin? (c) cos2? (d) cos?
8. 自由空间的原点处的场源在t时刻发生变化，此变化将在 b 时刻影响到r处的位
?函数?和A。
rr（a）t? ; （b）t?; (c) t ; (d) 任意
cc9. 在球坐标系中，电偶极子的辐射场（远区场）的空间分布与坐标的关系是 c
sin?sin?sin2?sin2?（a）? （b）?2 (c) ? (d) ?
rr2rr
10. 一均匀平面波垂直入射至导电媒质中并在其中传播，则
（A）不再是均匀平面波。 （B）空间各点电磁场振幅不变
（C）电场和磁场不同相。。 （D）传播特性与波的频率无关。 答案：C
9
11. 下列电场强度所对应的电磁波为线极化方式的是
?????j?z?ey10j?e?j?z （A）E?ex10?e?????j?z?ey10?e?j?z （C）E?ex10?e?????j?z?ey10j?e?j?z （B）E?ex10?e?????j?z?ey10?e?j?z 答案：C （D）E?ex10?e
??ysin(10?x)cos(?t?kzz)。试求电场和磁场12、已知真空中某时谐电场瞬时值为E(x,z,t)?e复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。
解：所给瞬时值表示式写成下列形式
??ysin(10?x)e?jkzzej?t] E(x,z,t)?Re[e因此电场强度的复矢量表示为
???ysin(10?x)e?jkzz E(x,z)?e由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为
?xe??H(x,z)??1j??0???(??E)???j??0?x?Ex????1?ye??y?Ey?ze??z?Ez
??x??Eey ???j??0???z???z??Eey????j????x0????k10??xzsin(10?x)?e?z ???ecos(10?x)?e?jkzz??0j??0???功率流密度矢量的平均值Sav等于复坡印廷矢量的实部，即
?xe????1?1???Sav?Re(S)?Re(E?H*)?ReEx22?*Hx ??ye?E?Hy*y?ze?E?Hz*z1?H?*?e?H?*)?xE?zERe(eyzyx 2?k1?5?kz?x?zzsin2(10?x)? ?Re?esin(20?x)?e2?j??0??0??z ?ekz2??0sin2(10?x)
??xA0cos(?t?kz) 13、已知真空中时变场的矢量磁位为A(z,t)?e??求：(1) 电场强度E和磁场强度H；(2) 坡印廷矢量及其平均值。
??xA0e?jkzej?t] 解：(1) 把矢量磁位的瞬时值表示为A(z,t)?Re[e 10