高中数学基础知识教案
第一讲：集合
一、集合的概念及其表示
1.元素与集合的关系：用?或?表示；
2.集合中元素具有：确定性、无序性、互异性. 3.集合的分类：
①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2},表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法：③韦恩图； ④字母表示法:常用数集的符号：自然数集N；正整数集N*或N?；整数集Z；有理数集Q、实数集R; 例1 下列关系式中正确的是（ ）
(A)????? (B)0???? (C)0???? (D)0???? ?x?y?3例2 ?解集为______.
2x?3y?1?例3设A??4,2a?1,a2,B??9,a?5,1?a?,已知A?B??9?,求实数a的值. 二、集合间的基本关系
?1、集合与集合的关系:用?，??，=表示;A是B的子集记为A?B；A是B的真子集记为A?B。
??①任何一个集合是它本身的子集，记为A?A；
②空集是任何集合的子集，记为??A；空集是任何非空集合的真子集； B?C，那么A?C. ③如果A?B，同时B?A，那么A = B；如果A?B，④n个元素的子集有2n个；n个元素的真子集有2n －1个；n个元素的非空真子集有2n－2个. 例4设M?xx2?x?2?0,x?R，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是( ) (A){a}=M (B)Mü{a} (C){a}YM (D)M?{a} 例5集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3n+1，
n∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是( )
(A)SüBüA (B)S=BüA (C)SüB=A (D)SYB=A ?、=、茌、)填空： 例6用适当的符号(?、??①π___Q; ②{3.14}____Q; ③R?∪R+_____R; ④{x|x=2k+1, k∈Z}___{x|x=2k－1, k∈Z}。 例7已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2－a＋2｝如果e?，那么a的值为___ _. UA???1三、集合的基本运算
1、集合的交、并、补运算.（如下图） 交 ? 并 ? 补 A?B?{x|x?A,且x?B} A?B?{x|x?A,或x?B} - 1 -
CUA??xx?U且x?A? 高中数学基础知识教案
方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算. 2.集合运算中常用结论:
痧①A?B?A?B?A;A?B?A?B?B；②痧U(A?B)?(UA)?( UB);U(A?B)?(UA)?( UB)；
③card(A?B)?card(A)?card(B)?card(A?B)
例8设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是( )
(A)11 (B)1 (C)16 (D)15
m?4x?3?Z}，B={x|?N}，则A∩B=__________。 22例10已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。 例11若A ={(x，y)| y =x+1},B={y|y =x2+1}, 则A∩B =_____. 例9已知A={m|例12设全集U?R,A?{xx≤6}，则A?(eUA)?_____,A?(eUA)?_____. 例13设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（CU A）∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B).
基础巩固训练
1.（09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集U?R,A?xx(x?3)?0,B?xx??1, 则右图中阴影部分表示的集合为 ( )
A．xx?0；B．x?3?x?0；C．x?3?x??1；D．xx??1 2. （韶关09届高三摸底考）已知A?xx(1?x)?0,B?xlog2x?0 则
????????????U A B ????A?B=
A．(0,1)； B．(0,2)； C．(??,0)； D．(??,0)?(0,???
3. （苏州09届高三调研考）集合{?1,0,1}的所有子集个数为
4.（09年无锡市高三第一次月考）集合A中的代表元素设为x，集合B中的代表元素设为y，若?x?B且?y?A，则A与B的关系是
5．(2008年天津)设集合S?x|x?2?3,T??x|a?x?a?8?则a的取值范围是（ ） ,S?T?R，
A．?3?a??1； B．?3?a??1 C．a??3或a??1； D．a??3或a??1 综合提高训练：
6．P?m?1?m?0,Q?m?Rmx2?4mx?4?0对于任意实数x恒成立则下列关系中立的是( )
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??????高中数学基础知识教案
A．PQ; B．QP; C．P?Q; D．P?Q??
??n?Nf(n)?P，7.设f(n)?2n?1(n?N)，P??1,2,3,4,5?，Q??3,4,5,6,7?，记P??n?N?f(n)?Q，则(P????CQ?QN)?(Q?CNP)＝( )
A. ?0,3?; B.?1,2?; C. ?3,4,5?; D. ?1,2,6,7?
8．（09届惠州第一次调研考）设A、B是非空集合，定义A?B?{xx?A?B且x?A?B}，已知A={x|y?????2x?x2}，B={y|y?2x,x?0}，则A×B等于（ ）
A．?0,???；B．?0,1???2,???；C．?0,1???2,???；D．?0,1??(2,??)
第一讲参考答案
例1选A; 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集.
例3解:∵A?B??9?,∴9?A.⑴若2a?1?9,则a?5,此时A???4,9,25?,B??9,0,?4?,
A?B??9,?4?,与已知矛盾,舍去.⑵若a2?9,则a??3①当a?3时,A???4,5,9?,B???2,?2,9?.B中有
两个元素均为?2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当a??3时,A???4,?7,9?,B??9,?8,4?,符合题意.综上所述,a??3.
[点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少。
例4C 例5C 例6①?,②ü,③ü,④
例7填2 例8C 例9?
例10解：∵M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}∴ M∩N=M={y|y≥1}
注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x，y）|y=x2+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y≥1}={x|x≥1}。 例11填?注：点集与数集的交集是?. 例12埴?,R
例13解：∵CU A = {1，2，6，7，8} ,CU B = {1，2，3，5，6}, ∴(CU A)∩(CU B) = {1，2，6} ,(CU A)∪(CU B) = {1，2，3，5，6，7，8},
B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ CU (A∪B) = {1,2,6} ,CU (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} ? A∪
基础巩固训练参考答案
??2.[解析] A；因为A??x0?x?1?，B??x0?x?1?，所以A?B??x0?x?1?
33.[解析]8；集合{?1,0,1}的所有子集个数为2?8
1.[解析]C；图中阴影部分表示的集合是A?B，而A?x?3?x?0，故A?B?x?3?x??1
??- 3 -
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4.[解析]B?A 或A?B??；由子集和交集的定义即可得到结论
5.[解析]A；S?x|x?2?3?xx??1或x?5，T??x|a?x?a?8?，S?T?R
????所以??a??1，从而得?3?a??1
?a?8?5综合提高训练：参考答案
?m?06.[解析]A；当m?0时，有?，即Q??当m?0时，m?R?1?m?0?；2???(4m)?4?m?(?4)?0mx2?4mx?4?0也恒成立，故Q??m?R?1?m?0?，所以PQ
??CP????CQ??????0,1,2?,Q7.[解析] A；依题意得P0?,(Q3?,故应选A 1,2,3?,所以(PN)??N)??2x8.[解析]D；2x?x?0?0?x?2，∴A=[0，2]，x?0?2?1，∴B=（1，＋∞），
∴A∪B=[0, ＋∞），A∩B=（1，2]，则A×B＝?0,1??(2,??)
第2讲 函数与映射的概念
一、映射定义
映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。
例1.若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c},则A到B的映射有 个，B到A的映射有 个；若
A?{1,2,3}，B?{a,b,c}, 则A到B的一一映射有 个。
例2. 设集合A和集合B都是自然数集合N，映射f:A?B把集合A中的元素n映射到集合B中的
n元素2?n，则在映射f下，象20的原象是 ( )
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 二、函数的概念 1.函数定义：
函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。 2.函数的三要素：
定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。 3. 函数定义域的求法：
列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。
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4.函数值域的求法：
①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.
注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便.
⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
(k?0,x?R)的值域为R;②二次函数y?ax2?bx?c①函数y?kx?b(a?0,x?R) 当a?0时值域是
k4ac?b24ac?b2]；③反比例函数y?(k?0,x?0)的值域为{y|y?0}； [,??),当a?0时值域是(??,x4a4a④指数函数y?ax(a?0,且a?1,x?R)的值域为R?；⑤对数函数y?logax(a?0,且a?1,x?0)的值域为R；⑥函数y?sinx,y?cosx(x?R)的值域为[-1，1]；函数y?tanx,x?k??的值域为R；
例3.已知扇形的周长为20，半径为r，扇形面积为S，则S?f(r)? ；定义域为 。
?2 , y?cot x (x?k?,k?Z)例4. 求函数f(x)?
x2?3x?4的定义域.
x?1?2例5. 若函数y?f(x)的定义域为[?1,1]，求函数y?f(x?
11)?f(x?)的定义域。 441?x21f(). 例6.已知g(x)?1?2x,f?g(x)?? (x?0), 求22x
例7. 求函数y?2x?41?x的值域.
???的是( ) 例8. 下列函数中值域为?0， (A) y?5
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12?x?1? (B) y????3?1?x?1? (C) y????1 (D) y?1?2x
?2?x