高中数学基础知识教案
题型4：利用函数的最值求参数的取值范围
x2?2x?a例6（2000年上海）已知函数f(x)?,x?[1,??).若对任意x?[1,??),f(x)?0恒成立,
x试求实数a的取值范围。
题型5：求三次多项式函数的最值
例7（09年高州中学）已知a为实数，函数f(x)?(x?1)(x?a)，若f'(?1)?0，求函数y?f(x)在[?23,1]上的最大值和最小值。 2
基础巩固训练：
1．（华师附中09高三数学训练题）若函数f(x)?x2?|x?a|?b在区间(??,0]上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.a?0；B.a?1；C.a?0；D.a?1 2．（普宁市城东中学09）若函数h(x)?2x?kk?在(1,??)上是增函数，则实数k的取值范围是（ ） x314A．[?2,??)；B．[2,??)； C．(??,?2]；D．(??,2]
3．（09汕头金中）下列四个函数中，在区间(0,)上为减函数的是（ ）
x1x1??A．y?x??；B．y??()；C．y?xlog2x；D．y?x3 2?2?14．（09潮州金山中学）已知函数f(x)?x?2x?1，若存在实数t，当x??1,m?时，f(x?t)?x恒
2成立，则实数m的最大值是（ ） A．1； B．2； C．3； D．4
?(3a?1)x?4a,x?15．（06北京改编）已知f(x)?? 是(??,??)上的减函数，那么a的取值范围是
logx,x?1?a26．（2008浙江理）已知t为常数，函数y?x?2x?t在区间[0，3]上的最大值为2，则t?
综合提高训练：
27.（06陕西改编）已知函数f(x)?ax?2ax?4(0?a?3),若x1?x2,x1?x2?a?1?0
则f1(x)与f2(x)的大小关系为 - 16 -
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8．已知函数f(x)?
3x?21122009(x?)，求f()?f()???f()的值 2x?122010201020109．（09年汕头金中）对于函数f(x)?x2?2x,在使f(x)?M成立的所有常数M中，我们把M的最大
a2?b2值－1叫做f(x)?x?2x的下确界，则对于a,b?R且a,b不全为的下确界为（ ） 0,(a?b)22 A．
11； B．2； C．； D．4 24第四讲 参考答案
例1. 解：定义域 {x|?1≤x≤1},在[?1,1]上任取x1,x2且x1 2 ∵x1?x2∴x2?x1?0,另外，恒有1?x12?1?x2?0 ∴若?1≤x1 例3. 证：任取 x1,x2?R且 x1 < x2 ∵g (x) 在R上是增函数,∴g (x1) 又∵f (x) 在R上是增函数,∴f [g (x1)] < f [g (x2)]而且 x1 < x2 ,∴ f [g (x)] 在R上是增函数 同理可以推广： 若 f (x)、g (x) 均是R上的减函数，则 f [g (x)] 是R上的增函数 若 f (x).g (x) 是R上的一增、一减函数，则 f [g (x)] 是R上的减函数 例4.[解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。 [解析]（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1. （2）证明：当x＜0时，－x＞0，∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.∴f（－x）= 1＞0. f(x)又x≥0时f（x）≥1＞0，∴x∈R时，恒有f（x）＞0. （3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）. ∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）. ∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数. （4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）. 又f（x）是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3. - 17 - 高中数学基础知识教案 【名师指引】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略. 例5.[解题思路]当a?均值不等式或导数； 11?2，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，可以考虑时，f(x)?x?22x111?2,f'(x)?1?2?x?1，时，f(x)?x??f?(x)?0。?f(x)在区间[1,??)22x2x7上为增函数。?f(x)在区间[1,??)上的最小值为f(1)?。 21?2,若x?0，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等【名师指引】对于函数f(x)?x?2x[解析]当a?号是否成立，否则会得到f(x)?(x?11)?2?2x??2?2?2 2x2x11，这时x?[,??) 2x2而认为其最小值为2?2，但实际上，要取得等号，必须使得x?所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题 常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想； 例6.[解题思路] 欲求参数a的取值范围，应从x?[1,??),f(x)?0恒成立的具体情况开始。 x2?2x?a?0在区间[1,??)上恒成立； [解析]?f(x)?x?x2?2x?a?0在区间[1,??)上恒成立；?x2?2x??a在区间[1,??)上恒成立； ?函数y?x2?2x在区间[1,??)上的最小值为3，??a?3 即a??3 【名师指引】这里利用了分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值。 例7.[解题思路]求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。 [解析]∵f(?1)?0，由f(x)?x?ax?x?a,f?(x)?3x?2ax?1， 2 ?3?2a?1?0,a?2, ?f?(x)?3x?4x?1 由f?(x)?3(x?)(x?1)得： ，3221311?1?x?? 当f?(x)?0时，33 311因此，f(x)在区间[?,?1]和[?,1]内单调递减，而在[?1,?]内单调递减， 233150且f(x)极大值?f(?1)?2,f(x)极小值?f(?)? 32731350133313又f(?)? f(1)?6,且，?f(x)在[?,1]上的最大值f(1)?6,最小值f(?)?， ?28228278当f?(x)?0时，x??1或x??【名师指引】用导数来研究其单调性和最值是高考考查的重点和热点，同时也是难点，要求考生熟练掌 握用导数来研究其单调性和最值的方法和步骤。 基础巩固训练参考答案 - 18 - 高中数学基础知识教案 2??x?x?a?b(x?a)1．[解析] C；因为f(x)?x?|x?a|?b??2，由其图象知，若函数 ??x?x?a?b(x?a)2f(x)?x2?|x?a|?b在区间(??,0]上为减函数，则应有a?0 2．[解析] A；若函数h(x)?2x?kkk?在(1,??)上是增函数，则h?(x)?2?2?0对于x?(1,??)恒x3x成立，即k??2x2对于x?(1,??)恒成立，而函数u??2x2(x?[1,??))的最大值为?2，实数k的取值范围是[?2,??) x1x111??33．[解析] C；显然y??()在(0,)上是增函数，y?x在(0,)上也是增函数而对y?x??求导 244?2?1x111x1x1x1??得y??()?x()ln2?()(1?xln2)，对于x?(0,)，y??0，所以y?x??在区间(0,)上为44222?2?增函数，从而应选择C 4．[解析] D；依题意，应将函数f(x)向右平行移动得到f(x?t)的图象，为了使得在?1,m?上，f(x?t)的图象都在直线y?x的下方，并且让m取得最大，则应取t??2，这时m取得最大值4 5．[解析] [,)；要y?logax在[1，??)上是减函数，则0?a?1，要(3a?1)x?4a在(??,1)上为减函数，则需3a?1?0并且(3a?1)?1?4a?0，所以 117311?a? 7326．[解析]1；显然函数y?x?2x?t的最大值只能在x?1或x?3时取到，若在x?1时取到，则 ；若在x?31?2?t?2，得t?1或t??3t?1，x?3时，y?2；t??3，x?3时，y?6（舍去） 时取到，则9?6?t?2，得t?1或t?5t?1，x?1时，y?2；t?5，x?1时，y?6（舍去）所以t?1 综合提高训练答案 7.[解析] f(x1)?f(x2)；函数f(x)?ax2?2ax?4(0?a?3),的图象开口向上，对称轴为x??1，因0?a?3，故x1?x2?(1?a)?(?2,1)，从而 x1?x21?(?1,)，又x1?x2，所以x2的对应点到22对称轴的距离大于x1的对应点到对称轴的距离，故f(x1)?f(x2) 8． [解析] 3x?23(1?x)?26027??3， ；为f(x)?f(1?x)?22x?12(1?x)?1122009200920081)?f()???f()，则S?f()?f()???f()， 201020102010201020102010- 19 - 令S?f(从而 高中数学基础知识教案 120092200820091)?f()]?[f()?f()]???[f()?f()]201020102010201020102010 ?2009?31220096027)?f()???f()?所以S?f( 20102010201022S?[f(1a2?b2a2?b2a2?b21a2?b29．[解析] A；因为，故的下确界为???2 (a?b)2(a?b)2a2?b2?2ab(a2?b2)?(a2?b2)2 第5讲 函数的奇偶性和周期性 一、函数的奇偶性 1.定义：①对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(?x)??f(x)〔或f(?x)?f(x)?0〕，则称f(x)为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。 ②对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(?x)?f(x)〔或f(?x)?f(x)?0〕，则称f(x)为偶函数. 偶函数的图象关于y轴对称。 ③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称） 2.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式 f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)??1(f(x)?0),也可以利用函数图象的对称性去判f(x)断函数的奇偶性.注意①若f(x)?0,则f(x)既是奇函数又是偶函数,若f(x)?m(m?0),则f(x)是偶函数；②若f(x)是奇函数且在x?0处有定义，则f(0)?0③若在函数f(x)的定义域内有则可以断定f(x)不是偶函数，同样，若在函数f(x)的定义域内有f(?m)??f(m)，f(?m)?f(m)， 则可以断定f(x)不是奇函数。 3．奇偶函数图象的对称性 （1）若y?f(a?x)是偶函数，则f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x)?f(x)的图象关于直线x?a对称； （2）若y?f(b?x)是偶函数，则f(b?x)??f(b?x)?f(2b?x)??f(x)?f(x)的图象关于点(b,0)中心对称； 题型1：判断有解析式的函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： - 20 -